Maryna Viazovska : la Fields 2022 pour avoir empilé des sphères en 8 dimensions

L'empilement de sphères : un problème vieux comme l'humanité

Dispose des oranges dans une caisse. Quelle est la disposition qui en met le plus ? La réponse intuitive (en pile pyramidale) est correcte en 3D : c'est l'empilement cubique faces centrées, qui occupe environ 74 % du volume. Cette intuition a été prouvée rigoureusement par Thomas Hales en 1998 — et la preuve, longue et controversée, n'a été certifiée formellement par ordinateur qu'en 2017.

En dimension supérieure, le problème devient cauchemardesque. Combien de boules unité peut-on empiler dans ${\mathbb{R}}^n$ sans qu'elles se chevauchent, par unité de volume ?

Pour la plupart des dimensions, on ne sait pas. Mais en 2016, Maryna Viazovska a résolu deux cas exceptionnels : la dimension 8 et (avec ses collaborateurs Cohn, Kumar, Miller, Radchenko) la dimension 24.

Le miracle des 23 pages

Pour comprendre pourquoi le résultat de Viazovska est extraordinaire, il faut comprendre que les mathématiciens cherchaient une « fonction magique » : une fonction $f$ sur ${\mathbb{R}}^8$ telle que :

• $f(0)=\hat{f}(0)$ (où $\hat{f}$ est la transformée de Fourier de $f$),
• $f\le 0$ sur certaines régions précises,
• $\hat{f}\ge 0$ partout.

Si une telle fonction existe, elle implique que l'empilement réalisé par le réseau $E_8$ (un objet mathématique exceptionnel, lié aux algèbres de Lie) est optimal. Personne ne savait construire cette fonction.

Viazovska a trouvé qu'elle pouvait être obtenue à partir des formes modulaires — un domaine sans rapport apparent avec le problème. Sa construction, en 23 pages, est si naturelle et élégante que beaucoup l'ont qualifiée de « magie pure ». Le mathématicien Henry Cohn a écrit : « Quand j'ai lu la preuve, j'ai eu l'impression d'assister à un miracle ».

Pourquoi seulement 8 et 24 ?

Ces deux dimensions sont liées à des réseaux exceptionnels : $E_8$ (dim 8) et le réseau de Leech (dim 24). Ces objets ont des symétries si parfaites qu'ils forment des « points limites » naturels. C'est pour ces dimensions précises que la méthode de Viazovska fonctionne.

En dimension 3, on a la preuve de Hales (par calcul). En dimension 8 et 24, on a Viazovska. Pour toutes les autres dimensions (4, 5, 6, 7, 9, 10, ...), la question reste ouverte.

La leçon : l'unification

Le grand enseignement de la démonstration de Viazovska : une idée venue d'un domaine peut résoudre un problème dans un autre, à condition d'avoir une vue d'ensemble.

Pour un élève BAC SM, cela signifie : ne cloisonne pas les chapitres. Une question d'arithmétique peut se résoudre par les complexes (théorème de Wilson). Une question d'analyse peut se résoudre par les suites. Construire des ponts entre chapitres distingue les très bons des excellents.

L'actualité : la preuve formalisée en 2024

En 2024, une équipe de mathématiciens et d'ingénieurs IA (projet Math.inc) a complété la formalisation Lean de la preuve de Viazovska. Cela signifie : chaque étape de la preuve a été vérifiée par ordinateur jusqu'aux axiomes de la théorie des ensembles. La preuve n'est plus seulement « acceptée », elle est certifiée mathématiquement.

C'est l'avenir des grandes preuves : humaine pour la créativité, machine pour la vérification.

Et le côté humain

Maryna Viazovska est née en Ukraine en 1984. En 2022, lors de sa réception de la médaille Fields, son pays était en guerre. Sa famille avait fui Kiev. Elle est devenue la 2e femme de l'histoire à recevoir la médaille Fields, après Maryam Mirzakhani en 2014. Inspiration intellectuelle ET humaine.

Voir aussi : comment rédiger une démonstration, nombres complexes.