كتابة التوارث بالمقلوب: افتراض $P(n+1)$ من أجل البرهنة على $P(n+1)$

الخطأ الكلاسيكي في الاستدلال بالترجع هو افتراض $P(n+1)$ ثم محاولة البرهنة عليه. هذه مصادرة على المطلوب، أي مصادرة على المبدأ. فأنت تبرهن على ما سبق أن سلّمت به. على سبيل المثال، إذا كان الهدف هو إثبات أنه من أجل كل $n\in \mathbb{N}$، $2^n>n$، فإن مرحلة التوارث تتمثل في إظهار أنه إذا كانت $P(n)$ صحيحة (أي $2^n>n$)، فإن $P(n+1)$ صحيحة (أي $2^{n+1}>n+1$).

يقع الخطأ عندما يكتب التلميذ: « لنفترض أن $2^{n+1}>n+1$. إذن $2\cdot 2^n>n+1$... » ويعالج هذه المتفاوتة للوصول إلى نتيجة. هذا النوع من الاستدلال دائري وغير سليم. يكتشف المصحح هذا الخلل المنطقي فوراً ويمنح 0 نقطة لمرحلة التوارث، مما يُبطل البرهان بأكمله.

لتفادي هذا الخطأ، فإن الطريقة الأنجع هي كتابة فرضية الترجع والنتيجة المراد بلوغها بشكل صريح ومنفصل. قبل البدء في مرحلة التوارث، حرّر على المسودة:

• فرضية الترجع (HR): P(n) صحيحة.
• الهدف: البرهنة على P(n+1).

بعد ذلك، عالج فقط فرضية الترجع لبناء البرهان على $P(n+1)$. لا تمسّ أبداً عبارة $P(n+1)$ نفسها قبل أن تبلغها بالاستنتاج.

هناك مقاربة أخرى تتمثل في الشروع دائماً في البرهنة على التوارث بـ « لنفترض أن $P(n)$ صحيحة. لنبرهن على أن $P(n+1)$ صحيحة. » وألا تكتب أبداً « لنفترض أن $P(n+1)$ صحيحة. » في بداية البرهان. إذا فاجأت نفسك تكتب الخاصية من أجل $n+1$ في بداية استدلالك، فهذا جرس إنذار فوري: أنت على الأرجح بصدد ارتكاب مصادرة على المطلوب.

يُصادَف هذا الخطأ كثيراً في مواضيع باكالوريا العلوم الرياضية، خاصة في تمارين المتتاليات العددية والمتفاوتات وقابلية القسمة أو خاصيات الدوال. على سبيل المثال، عند البرهنة بالترجع على خاصية من نوع $u_n>L$ أو $u_{n+1}-u_n>0$، قد يميل التلميذ إلى الانطلاق مباشرة من المتفاوتة من أجل $n+1$ بدلاً من معالجة الفرضية من أجل $n$.

يعرف واضعو مواضيع باكالوريا العلوم الرياضية هذا الخطأ جيداً وسلالم التنقيط غالباً ما تكون صارمة. فالاستدلال بالترجع غير المُهيكل جيداً في مرحلة التوارث، حتى لو كانت النتيجة النهائية صحيحة بالصدفة، يُعاقَب بشدة. الصرامة المنطقية كفاءة أساسية تُقيَّم في العلوم الرياضية. إتقان بنية الاستدلال بالترجع إتقاناً تاماً غير قابل للتفاوض إذا كنت تطمح إلى +18.