Polynômes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

تعريف

إن كثير الحدود

P (x)

هو تعبير على الشكل التالي:

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

حيث

a_{n} \neq = 0

، و

n

هي الدرجة.

العمليات على كثيرات الحدود

المجموع: $de g (P + Q) \leq max (de g P, de g Q)$
الجداء: $de g (P \times Q) = de g P + de g Q$

جذور كثير الحدود

a

هو جذر لـ

P

إذا كان

P (a) = 0

. إذا كان

a

جذراً، فإن

(x - a)

يقسم

P (x)

كثير الحدود من الدرجة الثانية: $a x^{2} + b x + c$

المميز:

Δ = b^{2} - 4 a c

$Δ > 0$ : جذران $x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ و $x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$
$Δ = 0$ : جذر مزدوج $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$
$Δ < 0$ : لا توجد جذور حقيقية

التعميل

$Δ > 0$ : $P (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
$Δ = 0$ : $P (x) = a (x - x_{0})^{2}$

العلاقات بين المعاملات والجذور

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

;

x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}

📈 Figure clé

Parabole

x^{2} - 2 x - 3

(racines

- 1

3

)

🔑 Formules clés à retenir

$Δ = b^{2} - 4 a c$
$x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$
$x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

خطأ في حساب المميز — Δ = b² − 4ac. انتبه للإشارة: إذا كان b سالباً، فإن b² موجب. إذا لم تكن ax² + bx + c على الشكل القياسي، أعد ترتيبها أولاً.

❌

Δ = 0 ⇒ جذر واحد، وليس جذرين — x = −b/(2a). لا تكتب جذرين متطابقين وكأنهما حلان مختلفان.

❌

نسيان وضع المعادلة على الشكل ax² + bx + c = 0 قبل تطبيق الصيغة — يجب أن تكون جميع الحدود في نفس الطرف من المعادلة.

🟢 نصائح احترافية

✅

علاقات Viète للتحقق: x₁ + x₂ = −b/a و x₁ × x₂ = c/a. إذا كانت الجذور التي تم إيجادها لا تحقق هذه العلاقات، فهناك خطأ.

💡

التعميل السريع: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). مفيد جداً لحل المتراجحات من الدرجة الثانية لاحقاً.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — كثيرات الحدود

النوع 1: تحديد الدرجة والمعاملات

متى؟ عندما يُعطى لك كثير حدود ويُطلب منك درجته أو معامله المهيمن أو حده الثابت.

انشر واختزل كثير الحدود (اجمع الحدود ذات الأس نفسه).
الدرجة هي أكبر أس لـ $x$ الذي معامله غير معدوم.
المعامل المهيمن هو معامل الحد ذي الدرجة الأعلى.
الحد الثابت هو $P (0)$ (الحد الذي لا يحتوي على $x$ ).

مثال سريع: $P (x) = 2 x^{3} - 5 x + 1$ من الدرجة $3$ ، المعامل المهيمن $2$ ، الحد الثابت $1$ .

النوع 2: حساب صورة $P (a)$ واختبار جذر

متى؟ عندما يُطلب $P (a)$ أو التحقق من أن $a$ جذر لـ $P$ .

عوّض كل $x$ بـ $a$ بين قوسين.
احسب الأسس أولاً، ثم الجداءات، ثم المجاميع.
إذا كانت النتيجة تساوي $0$ ، فإن $a$ هو جذر لـ $P$ .
الخلاصة: $a$ جذر $⟺ P (a) = 0 ⟺ (x - a)$ يقسم $P (x)$ .

مثال سريع: $P (x) = x^{2} - 3 x + 2$ ، $P (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ إذن $1$ جذر.

النوع 3: التحليل بـ $(x - a)$ عندما يكون $a$ جذراً

متى؟ عندما يكون جذر واضح $a$ معروفاً (غالباً $P (1) = 0$ أو $P (- 1) = 0$ ) ونريد التحليل.

تحقق من أن $a$ جذر فعلاً: $P (a) = 0$ .
اكتب $P (x) = (x - a) \cdot Q (x)$ حيث $Q$ درجته أقل بواحد.
أوجد $Q (x)$ بواسطة القسمة الإقليدية أو المطابقة بين المعاملات.
إن أمكن، حلل $Q (x)$ مرة أخرى (ثلاثية الحدود).

مثال سريع: $P (x) = x^{2} - 3 x + 2$ ، الجذر $1$ : $P (x) = (x - 1) (x - 2)$ .

النوع 4: إجراء القسمة الإقليدية لكثيرات الحدود

متى؟ عندما يُطلب خارج قسمة وباقي قسمة $A (x)$ على $B (x)$ .

رتب $A$ و $B$ حسب الأسس التنازلية، دون نسيان الحدود الناقصة (معامل $0$ ).
اقسم الحد المهيمن لـ $A$ على الحد المهيمن لـ $B$ : الحد الأول من خارج القسمة.
اضرب $B$ في هذا الحد، اطرح من $A$ ، أنزل الباقي.
كرر العملية ما دامت درجة الباقي $\geq$ درجة $B$ .
الخلاصة: $A = B \cdot Q + R$ حيث $de g R < de g B$ .

مثال سريع: $(x^{2} - 1) \div (x - 1)$ يعطي خارج قسمة $x + 1$ وباقي $0$ .

النوع 5: حساب المميز وجذور ثلاثية الحدود

متى؟ كثير حدود من الدرجة الثانية $a x^{2} + b x + c$ مع $a \neq = 0$ ؛ نبحث عن جذوره.

حدد $a$ ، $b$ ، $c$ .
احسب $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
إذا كان $Δ > 0$ : جذران $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .
إذا كان $Δ = 0$ : جذر مضاعف $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ .
إذا كان $Δ < 0$ : لا يوجد جذر حقيقي.

مثال سريع: $x^{2} - 5 x + 6$ : $Δ = 25 - 24 = 1$ ، الجذران $\frac{5 \pm 1}{2}$ ، أي $2$ و $3$ .

النوع 6: تحليل ثلاثية حدود من الدرجة الثانية

متى؟ عندما يُطلب الشكل المحلل لـ $a x^{2} + b x + c$ .

احسب $Δ$ والجذور (النوع 5).
إذا كان هناك جذران $x_{1}, x_{2}$ : $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .
إذا كان جذر مضاعف $x_{0}$ : $a (x - x_{0})^{2}$ .
إذا كان $Δ < 0$ : ثلاثية الحدود لا تُحلل في $R$ .
لا تنسَ أبداً العامل $a$ أمام التحليل.

مثال سريع: $2 x^{2} - 4 x - 6 = 2 (x - 3) (x + 1)$ (الجذران $3$ و $- 1$ ).

النوع 7: دراسة إشارة ثلاثية الحدود

متى؟ عندما يُطلب إشارة $a x^{2} + b x + c$ حسب $x$ ، أو جدول إشارات.

احسب $Δ$ .
إذا كان $Δ > 0$ (جذران): ثلاثية الحدود بإشارة $a$ خارج الجذرين، وبإشارة $- a$ بين الجذرين.
إذا كان $Δ = 0$ : بإشارة $a$ في كل مكان، إلا معدومة عند $x_{0}$ .
إذا كان $Δ < 0$ : دائماً بإشارة $a$ ، لا تنعدم أبداً.
أنشئ جدول الإشارات للاستنتاج.

مثال سريع: $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ على $] - \infty; 2 [\cup] 3; + \infty [$ و $< 0$ على $] 2; 3 [$ .

النوع 8: استعمال مجموع وجداء الجذور

متى؟ عندما يُطلب مجموع/جداء الجذور، أو إيجاد عددين بمعرفة مجموعهما وجداءهما.

لـ $a x^{2} + b x + c$ : المجموع $S = x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}$ ، الجداء $P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
تحقق أولاً من أن $Δ \geq 0$ (وإلا لا توجد جذور حقيقية).
عددان مجموعهما $S$ وجداءهما $P$ هما جذرا $X^{2} - S X + P = 0$ .
حل هذه المعادلة لإيجادهما.

مثال سريع: عددان مجموعهما $5$ وجداءهما $6$ : جذرا $X^{2} - 5 X + 6$ ، أي $2$ و $3$ .

Polynômes — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

14 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 14 corrigés

Exercices Faciles

4 exercices

Développer et réduire

Facile

Énoncé

Développer et réduire :

$3 (x + 2) + 4 (x - 1)$
$(x + 1) (x + 3)$
$2 (x - 2)^{2} - x (x + 1)$

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Degré et coefficient d'un polynôme

Facile

Énoncé

Donner le degré et le coefficient dominant de : P(x) = $3 x^{4} - 2 x^{2} + x - 5$
Calculer P(0), P(1) et P(-1) pour P(x) = $x^{2} - 3 x + 2$ .
Montrer que x = 2 est racine de Q(x) = $x^{2} - 5 x + 6$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Factorisation simple — mise en facteur

Facile

Énoncé

Factoriser en mettant en évidence le facteur commun :

$6 x^{2} + 9 x$
$4 a^{2} b - 8 a b^{2}$
$3 (x + 1) - x (x + 1)$
$2 x^{2} - 5 x - 3$ (chercher les racines puis factoriser)

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Valeur d'un polynôme

Facile

Énoncé

Soit $P (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ .

Calculer $P (0)$ , $P (1)$ , $P (2)$ et $P (- 1)$ .
Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $P (x) = 0$ ? (Factoriser $P (x)$ )
Est-ce que $x = \frac{1}{2}$ est racine de $P (x)$ ?

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

5 exercices

Utiliser les identités remarquables

Intermédiaire

Énoncé

Développer : $(x + 2)^{2}$
Développer : $(x - 3)^{2}$
Développer : $(x + 4) (x - 4)$

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Factoriser

Intermédiaire

Énoncé

Factoriser : $2 x + 4$
Factoriser : $x^{2} - 9$
Factoriser : $x^{2} + 4 x + 4$

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Développer des expressions

Intermédiaire

Énoncé

Développer et réduire les expressions suivantes :

$(2 x + 3)^{2}$
$(3 x - 2)^{2}$
$(x + 5) (x - 5)$
$(2 x + 1) (3 x - 2)$

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Factoriser en utilisant les identités remarquables

Intermédiaire

Énoncé

Factoriser les expressions suivantes :

$9 x^{2} - 16$
$x^{2} - 10 x + 25$
$4 x^{2} + 12 x + 9$
$3 x^{2} - 27$

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Identités remarquables niveau 2AC

Intermédiaire

Énoncé

Développer puis réduire :

$(3 x + 1)^{2} - (3 x - 1)^{2}$
$(x + 2) (x - 2) - (x - 1)^{2}$
$(a + b)^{2} - 2 (a + b) + 1$ (factoriser le résultat)

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Difficiles

5 exercices

Simplifier des fractions algébriques

Difficile

Énoncé

Simplifier les fractions suivantes en factorisant le numérateur et/ou le dénominateur :

$x^{2} - 4$ / $x - 2$
$x^{2} - 9$ / $x + 3$
$x^{2} + 4 x + 4$ / $x + 2$
Résoudre l'équation : $\frac{x ^{2} - 25}{x - 5} = 0$

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Application des identités remarquables

Difficile

Énoncé

Calculer $9 9^{2}$ en utilisant l'identité $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .
Calculer $51 \times 49$ en utilisant l'identité $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .
Factoriser entièrement : $2 x^{3} - 8 x$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Équation du second degré par factorisation

Difficile

Énoncé

Résoudre en factorisant :

$x^{2} - x - 6 = 0$
$4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$
$x^{2} - 9 = 0$

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Problème avec polynôme

Difficile

Énoncé

Un rectangle a une longueur de $(x + 5)$ cm et une largeur de $(x - 2)$ cm. Exprimer l'aire $A (x)$ en fonction de $x$ . Pour quelle valeur de $x$ l'aire est-elle 24 cm² ?
Factoriser complètement : $3 x^{2} - 12$ puis résoudre $3 x^{2} - 12 = 0$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Problème — polynôme et aire

Difficile

Énoncé

Un carré de côté $x$ cm est élargi : sa longueur augmente de 3 cm et sa largeur augmente de 2 cm, formant un rectangle.

Exprimer l'aire du rectangle $A (x)$ en développant.
De combien l'aire augmente-t-elle par rapport au carré initial ?
Pour quelle valeur de $x$ l'aire du rectangle est-elle le double de l'aire du carré ?

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices supplémentaires

Chargement en cours…

Polynômes

Polynômes — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

تعريف

العمليات على كثيرات الحدود

جذور كثير الحدود

كثير الحدود من الدرجة الثانية: ax2+bx+c

التعميل

العلاقات بين المعاملات والجذور

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — كثيرات الحدود

النوع 1: تحديد الدرجة والمعاملات

النوع 2: حساب صورة P(a) واختبار جذر

النوع 3: التحليل بـ (x−a) عندما يكون a جذراً

النوع 4: إجراء القسمة الإقليدية لكثيرات الحدود

النوع 5: حساب المميز وجذور ثلاثية الحدود

النوع 6: تحليل ثلاثية حدود من الدرجة الثانية

النوع 7: دراسة إشارة ثلاثية الحدود

النوع 8: استعمال مجموع وجداء الجذور

Polynômes — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Développer et réduire

Degré et coefficient d'un polynôme

Factorisation simple — mise en facteur

Valeur d'un polynôme

Exercices Intermédiaires

Utiliser les identités remarquables

Factoriser

Développer des expressions

Factoriser en utilisant les identités remarquables

Identités remarquables niveau 2AC

Exercices Difficiles

Simplifier des fractions algébriques

Application des identités remarquables

Équation du second degré par factorisation

Problème avec polynôme

Problème — polynôme et aire

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Polynômes

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone

كثير الحدود من الدرجة الثانية: $a x^{2} + b x + c$

النوع 2: حساب صورة $P (a)$ واختبار جذر

النوع 3: التحليل بـ $(x - a)$ عندما يكون $a$ جذراً