كم تمرينًا مصحّحًا في درس «المعلم في المستوى» ؟

يتوفّر 35 تمرينًا مصحّحًا مرتّبة حسب الصعوبة مع التصحيح المفصّل، مجّانًا على أطلس ماث.

كيف أراجع درس «المعلم في المستوى» في 3ème Année Collège ؟

ابدأ بملخّص الدرس والصيغ الأساسية، ثم أنجز التمارين المصحّحة و6 اختبارات سريعة، وأنهِ بامتحان تجريبي محدّد بالوقت.

هل درس «المعلم في المستوى» مقرّر في الامتحان الوطني ؟

نعم، هذا الدرس جزء من المقرّر الرسمي لـ3ème Année Collège بالمغرب ويظهر بانتظام في الامتحانات الوطنية.

Repère dans le plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

المعلم في المستوى

لتحديد موضع نقطة في المستوى، نستخدم معلماً. إنه الأداة التي تسمح بتحويل الهندسة إلى حسابات على الأعداد: هذا ما نسميه الهندسة التحليلية.

1. مفهوم معلم المستوى

تعريف

المعلم في المستوى يتكون من ثلاث نقاط غير مستقيمية: نقطة $O$ تسمى الأصل، ونقطتان أخريان تحددان مستقيمين متدرجين يسميان المحورين. نرمز لهذا المعلم بـ $(O; I; J)$ أو $(O; i; j)$ .

المحور الأفقي $(O I)$ هو محور الفواصل.
المحور العمودي $(O J)$ هو محور الأراتيب.
النقطة $O$ ، حيث يتقاطع المحوران، هي أصل المعلم.

2. المعلم المتعامد، المتعامد المتجانس

تعريف

نميز بين عدة أنواع من المعالم:

المعلم متعامد عندما يكون محوراه متعامدين.
المعلم متعامد متجانس عندما يكون متعامداً ويكون للمحورين نفس وحدة الطول: $O I = O J = 1$ .

في كل هذا الفصل، لحساب مسافة، نعمل في معلم متعامد متجانس.

3. إحداثيات نقطة

تعريف

في معلم $(O; I; J)$ ، كل نقطة $M$ في المستوى تُحدد بزوج من الأعداد $(x; y)$ :

$x$ هو الفاصلة للنقطة $M$ (القراءة على المحور الأفقي)؛
$y$ هو الأرتوب للنقطة $M$ (القراءة على المحور العمودي).

نكتب $M (x; y)$ .

الأصل له إحداثيات $O (0; 0)$ .

مثال على القراءة

لقراءة إحداثيات نقطة $A$ : نسقط $A$ على محور الفواصل (نجد $x_{A}$ )، ثم على محور الأراتيب (نجد $y_{A}$ ). إذا كانت $A$ على بعد $3$ نحو اليمين و $2$ نحو الأعلى، فإن $A (3; 2)$ .

4. إحداثيات منتصف قطعة

خاصية

لتكن $A (x_{A}; y_{A})$ و $B (x_{B}; y_{B})$ نقطتين في المستوى. إحداثيات منتصف $M$ للقطعة $[A B]$ هي:

M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})

بمعنى آخر، نحسب المتوسط الحسابي للفواصل والمتوسط الحسابي للأراتيب.

مثال محلول 1

لتكن $A (2; 5)$ و $B (8; 1)$ . لنحسب إحداثيات منتصف $M$ للقطعة $[A B]$ .

فاصلة $M$ : $\frac{x _{A} + x _{B}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$ .

أرتوب $M$ : $\frac{y _{A} + y _{B}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ .

إذن $M (5; 3)$ .

5. المسافة بين نقطتين

خاصية

في معلم متعامد متجانس، المسافة بين النقطتين $A (x_{A}; y_{A})$ و $B (x_{B}; y_{B})$ هي:

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

هذه الصيغة مستمدة من مبرهنة فيثاغورس المطبقة على المثلث القائم المتكون من الفروق الأفقية والعمودية.

مثال محلول 2

لتكن $A (1; 2)$ و $B (4; 6)$ في معلم متعامد متجانس. لنحسب المسافة $A B$ .

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2}$

$A B = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .

إذن $A B = 5$ .

6. إحداثيات متجهة

تعريف

لتكن $A (x_{A}; y_{A})$ و $B (x_{B}; y_{B})$ نقطتين. إحداثيات المتجهة $A B$ نحصل عليها بحساب «الوصول ناقص الانطلاق»:

A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})

مثال

إذا كانت $A (2; 3)$ و $B (7; 1)$ ، فإن $A B (7 - 2; 1 - 3)$ ، أي $A B (5; - 2)$ .

7. تساوي متجهتين

خاصية

متجهتان متساويتان إذا وفقط إذا كان لهما نفس الإحداثيات. إذا كانت $u (x; y)$ و $v (x^{'}; y^{'})$ ، فإن:

u = v ⟺ {x = x^{'} y = y^{'}

مثال

لتكن $A B (5; - 2)$ و $C D (5; - 2)$ . هاتان المتجهتان لهما نفس الإحداثيات، إذن $A B = C D$ . هذا يعني أيضاً أن $A B D C$ متوازي أضلاع.

📈 Figure clé

Coordonnées dans un repère

🔑 Formules clés à retenir

$M (x; y)$ — إحداثيات نقطة: $x$ الفاصلة، $y$ الأرتوب
$O (0; 0)$ — إحداثيات أصل المعلم
$M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ — منتصف القطعة $[A B]$
$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ — المسافة بين نقطتين (معلم متعامد متجانس)
$A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ — إحداثيات المتجهة $A B$ (الوصول ناقص الانطلاق)
$u = v ⟺ x = x^{'} et y = y^{'}$ — تساوي متجهتين بالإحداثيات

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

خطأ: الخلط بين الفاصلة والأرتوب. في $M (x; y)$ ، الفاصلة $x$ تُقرأ دائماً أولاً (أفقياً)، والأرتوب $y$ ثانياً (عمودياً).

❌

خطأ: بالنسبة للمتجهة $A B$ ، حساب «الانطلاق ناقص الوصول». القاعدة الصحيحة هي دائماً الوصول ناقص الانطلاق: $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ .

❌

خطأ: نسيان التربيع أو الجذر في المسافة. نكتب $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ ، وليس أبداً $A B = (x_{B} - x_{A}) + (y_{B} - y_{A})$ .

✅

بالنسبة للمنتصف، فكر في «المتوسط»: تجمع الفاصلتين وتقسم على $2$ ، ثم نفس الشيء بالنسبة للأراتيب.

✅

تحقق من حساب المسافة: إذا حصلت على مثلث $3$ - $4$ - $5$ أو مربعات كاملة تحت الجذر، فهذه علامة جيدة. المسافة دائماً عدد موجب.

💡

صيغة المسافة صالحة فقط في معلم متعامد متجانس. تحقق دائماً من أن المسألة تحدد ذلك قبل تطبيق الجذر التربيعي.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Repère dans le plan

Type 1 : Lire les coordonnées d'un point

Quand ? Un point est placé dans un repère et on veut écrire ses coordonnées.

Tracer la parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point pour lire l'abscisse $x$ sur l'axe horizontal.
Tracer la parallèle à l'axe des abscisses pour lire l'ordonnée $y$ sur l'axe vertical.
Écrire les coordonnées sous la forme $A (x; y)$ .

Exemple éclair : Un point situé à $3$ vers la droite et $2$ vers le haut a pour coordonnées $A (3; 2)$ .

Type 2 : Placer un point à partir de ses coordonnées

Quand ? On connaît les coordonnées $(x; y)$ et on doit placer le point dans le repère.

Partir de l'origine $O$ et se déplacer de $x$ sur l'axe des abscisses.
Depuis cette position, se déplacer de $y$ parallèlement à l'axe des ordonnées.
Marquer le point obtenu et le nommer.

Exemple éclair : Pour $B (- 2; 4)$ , aller à $- 2$ à gauche puis $4$ vers le haut.

Type 3 : Calculer les coordonnées du milieu d'un segment

Quand ? On connaît deux points et on cherche le milieu du segment qui les joint.

Noter les coordonnées $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ .
Calculer l'abscisse du milieu : $x_{I} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ .
Calculer l'ordonnée du milieu : $y_{I} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}$ .

Exemple éclair : Milieu de $A (2; 3)$ et $B (6; 7)$ : $I (\frac{2 + 6}{2}; \frac{3 + 7}{2}) = I (4; 5)$ .

Type 4 : Calculer la distance entre deux points

Quand ? On veut la longueur du segment $[A B]$ dans un repère orthonormé.

Noter les coordonnées $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ .
Appliquer la formule $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ .
Effectuer les calculs et donner le résultat avec son unité.

Exemple éclair : Pour $A (1; 2)$ et $B (4; 6)$ : $A B = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .

Type 5 : Montrer qu'un point est le milieu d'un segment

Quand ? On veut vérifier qu'un point donné $I$ est bien le milieu de $[A B]$ .

Calculer les coordonnées du milieu de $[A B]$ avec les formules du milieu.
Comparer avec les coordonnées du point $I$ donné.
Si elles sont identiques, conclure que $I$ est le milieu de $[A B]$ .

Exemple éclair : Si le milieu calculé est $(4; 5)$ et que $I (4; 5)$ , alors $I$ est bien le milieu de $[A B]$ .

Repère dans le plan — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

35 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 35 corrigés

Exercices Faciles

13 exercices

Coordonnées de vecteurs

Facile

Énoncé

المستوى منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس $(O, I, J)$ . نعتبر النقط:

$A (- 5; 2); B (- 1; - 1); C (3; 1); D (2; - 3)$

حدد إحداثيات الأشعة: $A B; C D; D B; C A$ .

Ma réponse

Repère dans le plan

Repère dans le plan — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

المعلم في المستوى

1. مفهوم معلم المستوى

تعريف

2. المعلم المتعامد، المتعامد المتجانس

تعريف

3. إحداثيات نقطة

تعريف

مثال على القراءة

4. إحداثيات منتصف قطعة

خاصية

مثال محلول 1

5. المسافة بين نقطتين

خاصية

مثال محلول 2

6. إحداثيات متجهة

تعريف

مثال

7. تساوي متجهتين

خاصية

مثال

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Repère dans le plan

Type 1 : Lire les coordonnées d'un point

Type 2 : Placer un point à partir de ses coordonnées

Type 3 : Calculer les coordonnées du milieu d'un segment

Type 4 : Calculer la distance entre deux points

Type 5 : Montrer qu'un point est le milieu d'un segment

Repère dans le plan — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Coordonnées de vecteurs

Placer des points dans un repère

Milieu et longueur d'un segment

حساب منتصف قطعة

المسافة ومحيط مثلث

إحداثيات متجهة انطلاقا من نقطتين

التعرف على نقطة على محور

المسافة البسيطة بين نقطتين

طول قطعة موازية لمحور

مماثل نقطة بالنسبة للأصل

تساوي متجهتين بالإحداثيات

المنتصف بإحداثيات سالبة

قراءة وكتابة الإحداثيات

Exercices Intermédiaires

Milieux et symétrie dans un repère

Triangle rectangle par les longueurs

Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

مثلث قائم الزاوية والنظرية العكسية لفيثاغورس

نقطة بحيث تكون متجهة معطاة

الرأس الرابع لمتوازي أضلاع

المماثل بالنسبة لمحور

المعين بواسطة قطريه

استقامية ثلاث نقط بواسطة المتجهات

طبيعة مثلث بواسطة الأطوال

نقطة من محور على مسافة متساوية من نقطتين

التحقق من منتصف وحساب طول

Exercices Difficiles

Translation et carré dans un repère

مستطيل وحساب القطرين

المتوسط ومركز ثقل مثلث

مثلث متساوي الساقين والارتفاع

وضعية كاملة بمتوازي أضلاع ومسافات

نقطة على مسافة متساوية من ثلاثة رؤوس

مركز دائرة وشعاعها

مربع انطلاقا من ثلاثة رؤوس

دراسة كاملة لرباعي

البحث عن أفصول بواسطة مسافة

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Repère dans le plan

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

أسئلة شائعة

لمزيد من المراجعة