المعلم في المستوى

لتحديد موضع نقطة في المستوى، نستخدم معلماً. إنه الأداة التي تسمح بتحويل الهندسة إلى حسابات على الأعداد: هذا ما نسميه الهندسة التحليلية.

1. مفهوم معلم المستوى

• المحور الأفقي $(OI)$ هو محور الفواصل.
• المحور العمودي $(OJ)$ هو محور الأراتيب.
• النقطة $O$، حيث يتقاطع المحوران، هي أصل المعلم.

2. المعلم المتعامد، المتعامد المتجانس

• المعلم متعامد عندما يكون محوراه متعامدين.
• المعلم متعامد متجانس عندما يكون متعامداً ويكون للمحورين نفس وحدة الطول: $OI=OJ=1$.

في كل هذا الفصل، لحساب مسافة، نعمل في معلم متعامد متجانس.

3. إحداثيات نقطة

الأصل له إحداثيات $O(0;0)$.

مثال على القراءة

لقراءة إحداثيات نقطة $A$: نسقط $A$ على محور الفواصل (نجد $x_A$)، ثم على محور الأراتيب (نجد $y_A$). إذا كانت $A$ على بعد $3$ نحو اليمين و $2$ نحو الأعلى، فإن $A(3;2)$.

4. إحداثيات منتصف قطعة

بمعنى آخر، نحسب المتوسط الحسابي للفواصل والمتوسط الحسابي للأراتيب.

مثال محلول 1

لتكن $A(2;5)$ و $B(8;1)$. لنحسب إحداثيات منتصف $M$ للقطعة $[AB]$.

فاصلة $M$: $\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5$.

أرتوب $M$: $\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$.

إذن $M(5;3)$.

5. المسافة بين نقطتين

هذه الصيغة مستمدة من مبرهنة فيثاغورس المطبقة على المثلث القائم المتكون من الفروق الأفقية والعمودية.

مثال محلول 2

لتكن $A(1;2)$ و $B(4;6)$ في معلم متعامد متجانس. لنحسب المسافة $AB$.

$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}$

$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

إذن $AB=5$.

6. إحداثيات متجهة

مثال

إذا كانت $A(2;3)$ و $B(7;1)$، فإن $\overrightarrow{AB}(7-2;1-3)$، أي $\overrightarrow{AB}(5;-2)$.

7. تساوي متجهتين

مثال

لتكن $\overrightarrow{AB}(5;-2)$ و $\overrightarrow{CD}(5;-2)$. هاتان المتجهتان لهما نفس الإحداثيات، إذن $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$. هذا يعني أيضاً أن $ABDC$ متوازي أضلاع.