Arithmétique dans ℕ — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

الحسابيات في $N$

تدرس الحسابيات الأعداد الصحيحة الطبيعية وخصائصها، لا سيما علاقات القابلية للقسمة. يشكل هذا الفصل أساس الاستدلال على الأعداد الصحيحة.

1. القابلية للقسمة في $N$

تعريف

ليكن $a$ و $b$ عددين صحيحين طبيعيين مع $b \neq = 0$ . نقول إن $b$ يقسم $a$ (أو أن $a$ مضاعف لـ $b$ ) إذا كان يوجد عدد صحيح طبيعي $k$ بحيث $a = b \times k$ . نرمز حينها $b ∣ a$ .

نقول أيضاً أن $b$ قاسم لـ $a$ . مثلاً $3 ∣ 12$ لأن $12 = 3 \times 4$ .

خاصية

لكل أعداد صحيحة طبيعية $a$ ، $b$ ، $c$ :

$1 ∣ a$ و $a ∣ a$ (كل عدد صحيح غير معدوم يقسم نفسه) ؛
إذا كان $a ∣ b$ و $b ∣ c$ فإن $a ∣ c$ (التعدية) ؛
إذا كان $a ∣ b$ و $a ∣ c$ فإن $a ∣ (b + c)$ و $a ∣ (b - c)$ من أجل $b \geq c$ ؛
إذا كان $a ∣ b$ فإن $a ∣ (k \times b)$ لكل عدد صحيح $k$ .

2. القسمة الإقليدية

تعريف

ليكن $a$ عدداً صحيحاً طبيعياً و $b$ عدداً صحيحاً طبيعياً غير معدوم. يوجد زوج وحيد من الأعداد الصحيحة الطبيعية $(q, r)$ بحيث :

a = b \times q + r avec 0 \leq r < b

$a$ هو المقسوم، $b$ القاسم، $q$ خارج القسمة و $r$ الباقي.

عندما يكون $r = 0$ ، تكون القسمة تامة : $b ∣ a$ .

3. معايير القابلية للقسمة

خاصية

عدد صحيح طبيعي يكون قابلاً للقسمة :

على 2 إذا كان رقم آحاده $0, 2, 4, 6$ أو $8$ (عدد زوجي) ؛
على 5 إذا كان رقم آحاده $0$ أو $5$ ؛
على 10 إذا كان رقم آحاده $0$ ؛
على 3 إذا كان مجموع أرقامه قابلاً للقسمة على $3$ ؛
على 9 إذا كان مجموع أرقامه قابلاً للقسمة على $9$ .

مثال : $738$ قابل للقسمة على $9$ لأن $7 + 3 + 8 = 18$ و $9 ∣ 18$ .

4. الأعداد الأولية

تعريف

عدد صحيح طبيعي $p$ يكون أولياً إذا كان أكبر من أو يساوي $2$ وله بالضبط قاسمان : $1$ ونفسه.

الأعداد الأولية الأولى هي : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \dots$ العدد $2$ هو العدد الأولي الزوجي الوحيد. العدد $1$ ليس أولياً.

للتحقق من أن عدداً $n$ أولي، يكفي اختبار قابليته للقسمة على الأعداد الأولية $p$ بحيث $p \times p \leq n$ (أي $p \leq n$ ).

5. التفكيك إلى جداء عوامل أولية

خاصية

كل عدد صحيح طبيعي $n \geq 2$ يُفكك بطريقة وحيدة (إلى حد الترتيب) إلى جداء عوامل أولية.

الطريقة : نقسم بالتتابع على الأعداد الأولية المتزايدة ( $2$ ، ثم $3$ ، $5$ ، $7$ ، …) حتى نحصل على $1$ .

6. القاسم المشترك الأكبر وخوارزمية إقليدس

تعريف

القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين طبيعيين غير معدومين $a$ و $b$ هو أكبر عدد صحيح يقسم كلاً من $a$ و $b$ . نرمز له $PGCD (a, b)$ أو $a \land b$ .

خاصية (خوارزمية إقليدس)

من أجل $a > b$ ، القاسم المشترك الأكبر لا يتغير إذا استبدلنا $a$ بباقي القسمة الإقليدية لـ $a$ على $b$ . نكرر حتى نحصل على باقٍ معدوم : آخر باقٍ غير معدوم هو القاسم المشترك الأكبر.

PGCD (a, b) = PGCD (b, r) o \overset{u}{ˋ} r est le reste de a \div b

7. المضاعف المشترك الأصغر والعلاقة الأساسية

تعريف

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين طبيعيين غير معدومين $a$ و $b$ هو أصغر عدد صحيح موجب تماماً يكون في نفس الوقت مضاعفاً لـ $a$ و $b$ . نرمز له $PPCM (a, b)$ أو $a \lor b$ .

خاصية (العلاقة الأساسية)

PGCD (a, b) \times PPCM (a, b) = a \times b

هذه العلاقة تسمح بحساب المضاعف المشترك الأصغر انطلاقاً من القاسم المشترك الأكبر : $PPCM (a, b) = \frac{a \times b}{PGCD ( a , b )}$ .

8. الأعداد الأولية فيما بينها والكسر غير القابل للاختزال

تعريف

عددان صحيحان طبيعيان $a$ و $b$ يكونان أوليين فيما بينهما إذا كان $PGCD (a, b) = 1$ .

تعريف

كسر $\frac{a}{b}$ يكون غير قابل للاختزال عندما يكون بسطه ومقامه أوليين فيما بينهما، أي $PGCD (a, b) = 1$ . نجعل كسراً غير قابل للاختزال بقسمة البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر.

9. أمثلة محلولة

مثال 1 : خوارزمية إقليدس

لنحسب $PGCD (252, 105)$ .

$252 = 105 \times 2 + 42$
$105 = 42 \times 2 + 21$
$42 = 21 \times 2 + 0$

آخر باقٍ غير معدوم هو $21$ ، إذن $PGCD (252, 105) = 21$ .

نستنتج المضاعف المشترك الأصغر : $PPCM (252, 105) = \frac{252 \times 105}{21} = \frac{26460}{21} = 1260$ .

مثال 2 : التفكيك إلى عوامل أولية

لنفكك $360$ إلى جداء عوامل أولية.

$360 = 2 \times 180$
$180 = 2 \times 90$
$90 = 2 \times 45$
$45 = 3 \times 15$
$15 = 3 \times 5$

إذن :

360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5

مثال 3 : كسر غير قابل للاختزال

لنجعل $\frac{252}{105}$ غير قابل للاختزال. رأينا أن $PGCD (252, 105) = 21$ ، إذن :

\frac{252}{105} = \frac{252 \div 21}{105 \div 21} = \frac{12}{5}

بما أن $PGCD (12, 5) = 1$ ، فإن الكسر $\frac{12}{5}$ غير قابل للاختزال.

🔑 Formules clés à retenir

$b ∣ a ⟺ \exists k \in N, a = b \times k$ — تعريف القابلية للقسمة
$a = b \times q + r avec 0 \leq r < b$ — القسمة الإقليدية لـ $a$ على $b$
$a ∣ b et b ∣ c ⟹ a ∣ c$ — تعدية القابلية للقسمة
$a ∣ b et a ∣ c ⟹ a ∣ (b + c)$ — قابلية قسمة مجموع
$2 ∣ n ⟺$ رقم الآحاد $\in {0, 2, 4, 6, 8}$ — معيار القسمة على 2
$5 ∣ n ⟺$ رقم الآحاد $\in {0, 5}$ — معيار القسمة على 5
$10 ∣ n ⟺$ رقم الآحاد $= 0$ — معيار القسمة على 10
$3 ∣ n ⟺ 3 ∣ (somme des chiffres)$ — معيار القسمة على 3
$9 ∣ n ⟺ 9 ∣ (somme des chiffres)$ — معيار القسمة على 9
$n = p_{1}^{α_{1}} \times p_{2}^{α_{2}} \times \dots \times p_{k}^{α_{k}}$ — التفكيك إلى عوامل أولية
$PGCD (a, b) = PGCD (b, r)$ — خطوة من خوارزمية إقليدس ( $r$ باقي $a \div b$ )
$PGCD (a, b) \times PPCM (a, b) = a \times b$ — العلاقة الأساسية
$PPCM (a, b) = \frac{a \times b}{PGCD ( a , b )}$ — حساب المضاعف المشترك الأصغر
$a et b premiers entre eux ⟺ PGCD (a, b) = 1$ — أعداد أولية فيما بينها
$\frac{a}{b} irr \overset{e}{ˊ} ductible ⟺ PGCD (a, b) = 1$ — كسر غير قابل للاختزال

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

خطأ : الاعتقاد بأن $1$ عدد أولي. خطأ : العدد الأولي يجب أن يكون له بالضبط قاسمان مختلفان، بينما $1$ له قاسم واحد فقط. أصغر عدد أولي هو $2$ .

❌

خطأ : نسيان الشرط $0 \leq r < b$ في القسمة الإقليدية. إذا كان الباقي أكبر من أو يساوي القاسم، فالحساب خاطئ : يجب مواصلة القسمة.

❌

خطأ : الخلط بين القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر. القاسم المشترك الأكبر هو أكبر قاسم مشترك (وهو صغير، $\leq a$ و $\leq b$ ) ؛ المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر مضاعف مشترك (وهو كبير، $\geq a$ و $\geq b$ ).

✅

لجعل كسر غير قابل للاختزال دفعة واحدة، اقسم البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر بدلاً من التبسيط بخطوات صغيرة متتالية.

✅

خوارزمية إقليدس أسرع من التفكيك إلى عوامل أولية للأعداد الكبيرة : تابع القسمات حتى باقٍ معدوم، آخر باقٍ غير معدوم هو القاسم المشترك الأكبر.

💡

لاختبار ما إذا كان عدد $n$ أولياً، اختبر فقط القواسم الأولية $p$ بحيث $p \leq n$ . مثلاً من أجل $n = 97$ ، بما أن $97 < 10$ ، يكفي اختبار $2, 3, 5, 7$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الحسابيات في ℕ

النوع 1: دراسة قابلية القسمة لعدد صحيح

متى؟ عندما يُطلب معرفة ما إذا كان عدد قابلاً للقسمة على عدد آخر، أو ذكر قواسمه.

تذكر أن $a$ يقسم $b$ إذا وُجد عدد صحيح $k$ بحيث $b = a \times k$ .
استخدم المعايير المعتادة: القسمة على $2$ (رقم زوجي)، على $3$ (مجموع الأرقام قابل للقسمة على $3$ )، على $5$ (ينتهي بـ $0$ أو $5$ )، على $9$ (مجموع الأرقام قابل للقسمة على $9$ ).
لسرد القواسم: اختبر $1, 2, 3, \dots$ حتى $b$ واربط كل قاسم بمتممه.
لا تنسَ أن $1$ والعدد نفسه هما دائماً من القواسم.

مثال سريع: $342$ : مجموع الأرقام $3 + 4 + 2 = 9$ قابل للقسمة على $3$ و $9$ ، إذن $342$ قابل للقسمة على $3$ وعلى $9$ .

النوع 2: إجراء قسمة إقليدية

متى؟ عندما يُطلب حاصل القسمة والباقي من قسمة $a$ على $b$ .

ابحث عن أكبر مضاعف لـ $b$ أصغر من أو يساوي $a$ .
اكتب $a = b \times q + r$ حيث $q$ هو حاصل القسمة و $r$ الباقي.
تحقق بشكل إلزامي من أن $0 ⩽ r < b$ .
راقب بإعادة حساب $b \times q + r$ : يجب أن تحصل على $a$ .

مثال سريع: $47$ على $5$ : $47 = 5 \times 9 + 2$ ، إذن حاصل القسمة $q = 9$ والباقي $r = 2$ (مع $0 ⩽ 2 < 5$ ).

النوع 3: التعرف على عدد أولي

متى؟ عندما يُطلب معرفة ما إذا كان عدد صحيح $n > 1$ أولياً.

تذكر أن العدد الأولي له قاسمان بالضبط: $1$ ونفسه.
اختبر القسمة على الأعداد الأولية المتزايدة: $2, 3, 5, 7, 11, \dots$
توقف بمجرد أن يتجاوز القاسم المختبَر $n$ .
إذا لم يقسم أي منها $n$ ، فإن $n$ أولي؛ وإلا فهو مركب.

مثال سريع: $97$ : $97 \approx 9, 8$ ، نختبر $2, 3, 5, 7$ : لا أحد يقسم $97$ ، إذن $97$ أولي.

النوع 4: تفكيك عدد صحيح إلى جداء عوامل أولية

متى؟ عندما يُطلب تفكيك عدد، غالباً لحساب القاسم المشترك الأكبر أو المضاعف المشترك الأصغر بعد ذلك.

اقسم العدد على أصغر عدد أولي ممكن ( $2$ ، ثم $3$ ، $5$ ، $7$ ...).
كرر على حاصل القسمة المحصل عليه، مراراً وتكراراً.
استمر حتى تحصل على $1$ .
اكتب النتيجة على شكل جداء قوى أعداد أولية.

مثال سريع: $360 = 2 \times 180 = 2 \times 2 \times 90 = \dots$ مما يعطي $360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$ .

النوع 5: حساب القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين

متى؟ عندما نبحث عن أكبر قاسم مشترك لعددين (تبسيط، توزيع بالتساوي).

الطريقة 1 (التفكيك): فكك العددين إلى عوامل أولية، ثم خذ العوامل المشتركة بأصغر أس.
الطريقة 2 (خوارزمية إقليدس): استبدل $pgcd (a, b)$ بـ $pgcd (b, r)$ حيث $r$ هو باقي قسمة $a$ على $b$ .
كرر حتى يصبح الباقي صفراً؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
عددان أوليان فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي $1$ .

مثال سريع: $pgcd (48, 36)$ : $48 = 36 \times 1 + 12$ ، ثم $36 = 12 \times 3 + 0$ ، إذن $pgcd (48, 36) = 12$ .

النوع 6: حساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين

متى؟ عندما نبحث عن أصغر مضاعف مشترك (مسائل الدورات، المواعيد الدورية).

الطريقة 1 (التفكيك): فكك إلى عوامل أولية، ثم خذ جميع العوامل الموجودة بأكبر أس.
الطريقة 2 (العلاقة): استخدم $ppcm (a, b) = \frac{a \times b}{pgcd ( a , b )}$ .
احسب القاسم المشترك الأكبر أولاً إذا كنت تستخدم العلاقة.
تحقق من أن النتيجة هي فعلاً مضاعف للعددين.

مثال سريع: $ppcm (48, 36) = \frac{48 \times 36}{12} = \frac{1728}{12} = 144$ .

النوع 7: حل مسألة واقعية (القاسم المشترك الأكبر أم المضاعف المشترك الأصغر؟)

متى؟ نص بالكلمات (توزيع، تجميع، مزامنة) حيث يجب اختيار الأداة المناسبة.

إذا كنا نوزع / نقطع إلى حصص متساوية بأكبر قدر ممكن $\Rightarrow$ القاسم المشترك الأكبر.
إذا كنا نبحث عن حدث يتكرر معاً، أصغر لحظة مشتركة $\Rightarrow$ المضاعف المشترك الأصغر.
ترجم النص: حدد العددين المعنيين.
احسب الأداة المختارة، ثم أجب في سياق النص (مع الوحدات).

مثال سريع: منارتان تومضان كل $48$ ثانية و $36$ ثانية: تومضان معاً كل $ppcm (48, 36) = 144$ ثانية.

Arithmétique dans ℕ — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

10 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 10 corrigés

Exercices Faciles

2 exercices

Produit de quatre entiers consécutifs

Facile

Énoncé

بيّن أنه من أجل كل $n \in N$ ، فإن العدد $n (n + 1) (n + 2) (n + 3)$ من مضاعفات $4$ .
هل يوجد عدد طبيعي $n$ بحيث $n (n + 1) (n + 2) (n + 3) = 2010$ ؟

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Quotients entiers de fractions

Facile

Énoncé

لتكن $n$ عددا طبيعيا.

تحقق من أن $\frac{n + 7}{n + 1} = 1 + \frac{6}{n + 1}$ .
حدد قيم العدد الطبيعي $n$ التي من أجلها $\frac{n + 7}{n + 1} \in N$ .
حدد قيم العدد الطبيعي $n$ التي من أجلها $\frac{3 n + 28}{n + 4} \in N$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

5 exercices

Parité et multiple de 40

Intermédiaire

Énoncé

نضع $a = 6 n + 11$ و $b = 2 n + 4$ ، حيث $n \in N$ .

دراسة زوجية العددين $a$ و $b$ .
استنتج زوجية العدد الصحيح $c$ المعرف بـ $c = (6 n + 11) (- 1)^{b} + (2 n + 3) (- 1)^{a}$ .
أثبت أن العدد $(a + 1)^{2} + b^{2}$ من مضاعفات $40$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Factorisation et multiple de 4

Intermédiaire

Énoncé

ليكن $n \in N$ .

دراسة تكافؤ العدد الصحيح $n^{2} + 3 n + 4$ .
نشر واختزال العبارة $(n^{2} + n) (n^{2} + 3 n + 4)$ .
استنتج أن $n^{4} + 4 n^{3} + 7 n^{2} + 4 n$ من مضاعفات $4$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Nombre premier, PGCD et PPCM (240 et 2022)

Intermédiaire

Énoncé

تحقق من أن $337$ عدد أولي.
حلل $a = 240$ و $b = 2022$ إلى جداء عوامل أولية.
استنتج $pgcd (a; b)$ و $ppcm (a; b)$ .
بسط $240 \times 2022$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Décomposition, racine entière et fraction irréductible

Intermédiaire

Énoncé

نضع $a = 2160$ و $b = 4860$ .

حلل إلى جداء عوامل أولية العددين $a$ و $b$ .
استنتج $pgcd (a; b)$ و $ppcm (a; b)$ .
حدد التحليل إلى جداء عوامل أولية للعدد $a^{3} \times b^{2}$ .
بين أن $a \times b$ عدد طبيعي.
اكتب $\frac{a}{b}$ على شكل كسر غير قابل للاختزال.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Multiples et puissances de 7

Intermédiaire

Énoncé

لكل $n \in N$ ، نضع $a = 7^{n + 2} - 7^{n}$ و $b = 3 \times 7^{n + 1} + 5 \times 7^{n}$ .

بين أن $a$ من مضاعفات $3$ وأن $b$ من مضاعفات $13$ .
حلل إلى جداء عوامل أولية العددين $a$ و $b$ .
استنتج $pgcd (a; b)$ و $ppcm (a; b)$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Difficiles

3 exercices

Divisibilité par 8 et 16

Difficile

Énoncé

ليكن $n$ عددا طبيعيا فرديا.
1. بين أن $n^{2} - 1$ يقبل القسمة على $8$ .
2. استنتج أن $16$ يقسم $n^{4} - 1$ .
ليكن $a$ و $b$ عددين طبيعيين فرديين. بين أن $16$ يقسم $a^{4} + b^{4} - 2$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Équations diophantiennes par factorisation

Difficile

Énoncé

ليكن $x$ و $y$ عددين طبيعيين. بيّن أن $x + y$ و $x - y$ لهما نفس التكافؤ.
حدد قواسم العدد $28$ .
حدد جميع الأزواج $(x; y)$ من الأعداد الطبيعية التي تحقق $x^{2} - y^{2} = 28$ .
حدد جميع الأزواج $(m; n)$ من الأعداد الطبيعية بحيث $mn + 3 m + 2 n = 28$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Différence de carrés et PGCD imposé

Difficile

Énoncé

تحديد الأعداد الطبيعية $x$ و $y$ التي تحقق $x^{2} - y^{2} = 51$ .
تحديد جميع الأزواج $(a; b)$ من الأعداد الطبيعية بحيث $a^{2} - b^{2} = 7344$ و $a \land b = 12$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices supplémentaires

Chargement en cours…

Arithmétique dans ℕ

Arithmétique dans ℕ — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

الحسابيات في N

1. القابلية للقسمة في N

تعريف

خاصية

2. القسمة الإقليدية

تعريف

3. معايير القابلية للقسمة

خاصية

4. الأعداد الأولية

تعريف

5. التفكيك إلى جداء عوامل أولية

خاصية

6. القاسم المشترك الأكبر وخوارزمية إقليدس

تعريف

خاصية (خوارزمية إقليدس)

7. المضاعف المشترك الأصغر والعلاقة الأساسية

تعريف

خاصية (العلاقة الأساسية)

8. الأعداد الأولية فيما بينها والكسر غير القابل للاختزال

تعريف

تعريف

9. أمثلة محلولة

مثال 1 : خوارزمية إقليدس

مثال 2 : التفكيك إلى عوامل أولية

مثال 3 : كسر غير قابل للاختزال

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الحسابيات في ℕ

النوع 1: دراسة قابلية القسمة لعدد صحيح

النوع 2: إجراء قسمة إقليدية

النوع 3: التعرف على عدد أولي

النوع 4: تفكيك عدد صحيح إلى جداء عوامل أولية

النوع 5: حساب القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين

النوع 6: حساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين

النوع 7: حل مسألة واقعية (القاسم المشترك الأكبر أم المضاعف المشترك الأصغر؟)

Arithmétique dans ℕ — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Produit de quatre entiers consécutifs

Quotients entiers de fractions

Exercices Intermédiaires

Parité et multiple de 40

Factorisation et multiple de 4

Nombre premier, PGCD et PPCM (240 et 2022)

Décomposition, racine entière et fraction irréductible

Multiples et puissances de 7

Exercices Difficiles

Divisibilité par 8 et 16

Équations diophantiennes par factorisation

Différence de carrés et PGCD imposé

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Arithmétique dans ℕ

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone

الحسابيات في $N$

1. القابلية للقسمة في $N$