الإسقاط

الإسقاط هو تحويل هندسي في المستوى يربط كل نقطة بنقطة على مستقيم ثابت. إنه أداة أساسية تسمح، من بين أمور أخرى، ببرهنة مبرهنة طاليس. في هذا الفصل بأكمله، المستوى مزود بمستقيمات متمايزة أو متوازية نحددها في كل مرة.

1. تعريف الإسقاط

حالات خاصة مفيدة

• إذا كانت $M$ تنتمي بالفعل إلى $(D)$، فإن مسقطها هو نفسها: $M^{\prime }=M$.
• المستقيم المار بـ $M$ والموازي لـ $(\Delta )$ يقطع دائماً $(D)$ في نقطة واحدة، لأن $(D)$ و $(\Delta )$ متقاطعان: المسقط موجود ووحيد.
• عندما يكون $(\Delta )$ عمودياً على $(D)$، نتحدث عن الإسقاط العمودي على $(D)$.

2. حفظ الاستقامة

نتيجة: صورة مستقيم بالإسقاط هي مستقيم (أو نقطة إذا كان المستقيم موازياً للاتجاه $(\Delta )$، وفي هذه الحالة جميع نقاطه لها نفس المسقط).

3. حفظ المنتصف

بشكل خاص، مسقط المنتصف هو منتصف المساقط. هذه الخاصية تعمم: الإسقاط يحفظ أيضاً مركز الثقل، وبشكل أوسع، نسب تقسيم قطعة.

4. حفظ النسب (القياسات الجبرية)

هذه هي الخاصية المركزية للإسقاط، تلك التي تولد مبرهنة طاليس.

بمعنى آخر، إذا كانت نقطة $C$ تقسم القطعة وفق معامل معين $k$ بحيث $\overline{AC}=k\times \overline{AB}$، فإن مسقطها يحقق $\overline{A^{\prime }{C}^{\prime }}=k\times \overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$: المعامل $k$ محفوظ.

5. مبرهنة طاليس (نتيجة الإسقاط)

هذه النتيجة هي نتيجة مباشرة للإسقاط على المستقيم $(O{B}^{\prime })$ موازياً لـ $(d_1)$: بما أن هذا الإسقاط يحفظ نسب القياسات الجبرية، فإن تساوي الحاصلات ينتج مباشرة.

6. الإسقاط والمتجهات

وبالتالي، الإسقاط يحول متجهاً من المستقيم $(AB)$ إلى متجه موازٍ اتجاهياً لمحور $(D)$، مع حفظ معامل التوازي الاتجاهي $k$.

7. أمثلة محلولة

مثال 1 — حفظ النسبة

على مستقيم، نضع $A$ و $B$ و $C$ بحيث $\overline{AC}=\frac{2}{3}\overline{AB}$. نسقط هذه النقاط على مستقيم $(D)$ موازياً لـ $(\Delta )$، نحصل على $A^{\prime }$ و $B^{\prime }$ و $C^{\prime }$. علماً أن $\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=6$ سم، احسب $\overline{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

الحل. الإسقاط يحفظ نسب القياسات الجبرية، إذن:

ومنه $\overline{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{2}{3}\times \overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{2}{3}\times 6=4$ سم.

مثال 2 — تطبيق مبرهنة طاليس

مستقيمان يتقاطعان في $O$. مستقيم موازٍ يقطع الأول في $A$ مع $OA=4$ والثاني في $A^{\prime }$ مع $O{A}^{\prime }=5$. مستقيم موازٍ آخر (للأول) يقطع الأول في $B$ مع $OB=10$. احسب $O{B}^{\prime }$.

الحل. حسب مبرهنة طاليس (القياسات هنا بنفس الاتجاه):

بالضرب التبادلي: $O{B}^{\prime }=\frac{5\times 10}{4}=\frac{50}{4}=12,5$.

مثال 3 — حفظ المنتصف

لتكن $I$ منتصف $[AB]$. نسقط على $(D)$ موازياً لـ $(\Delta )$. أثبت أن $I^{\prime }$ منتصف $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$.

الحل. بما أن $I$ منتصف $[AB]$، فإن $\overline{AI}=\frac{1}{2}\overline{AB}$. الإسقاط يحفظ النسبة، إذن $\overline{A^{\prime }{I}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$، وهذا يعني بالضبط أن $I^{\prime }$ منتصف $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$.