نص التمرين لتكن x ∈ Z . أثبت أنه إذا كان x زوجيا، فإن x 4 ≡ 0 [ 16 ] . أثبت أنه إذا كان x فرديا، فإن x 4 ≡ 1 [ 16 ] . يمكن استخدام ( X + 1 ) 4 = X 4 + 4 X 3 + 6 X 2 + 4 X + 1 . لتكن a , b ∈ Z أوليان فيما بينهما و c = a 4 + b 4 . استنتج أن c ≡ 1 [ 16 ] أو c ≡ 2 [ 16 ] .

Puissances quatrièmes modulo 16

Difficile

لتكن $x \in Z$ .

أثبت أنه إذا كان $x$ زوجيا، فإن $x^{4} \equiv 0 [16]$ .
أثبت أنه إذا كان $x$ فرديا، فإن $x^{4} \equiv 1 [16]$ . يمكن استخدام $(X + 1)^{4} = X^{4} + 4 X^{3} + 6 X^{2} + 4 X + 1$ .
لتكن $a, b \in Z$ أوليان فيما بينهما و $c = a^{4} + b^{4}$ . استنتج أن $c \equiv 1 [16]$ أو $c \equiv 2 [16]$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للسؤال 1، اكتب $x=2k$ واحسب مباشرة $x^4$.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للسؤال 2، استعمل الصيغة المعطاة مع $X=2k$ واجمع الحدود لتحليل مضاعف للعدد $16$؛ فكر في استعمال أن $k(k+1)$ زوجي دائما.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 3، ميّز الحالات حسب زوجية $a$ و $b$ (لا يمكن أن يكونا زوجيين معا لأنهما أوليان فيما بينهما)، واجمع نتائج السؤالين 1 و 2.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للسؤال 1، اكتب $x = 2 k$ واحسب مباشرة $x^{4}$ .

بالنسبة للسؤال 2، استعمل الصيغة المعطاة مع $X = 2 k$ واجمع الحدود لتحليل مضاعف للعدد $16$ ؛ فكر في استعمال أن $k (k + 1)$ زوجي دائما.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points