Énoncé Soient a , b ∈ Z premiers entre eux et c = a 4 + b 4 . Soit p un nombre premier tel que p ∣ c et p > 2 . Montrer que a ∧ p = 1 . Montrer qu'il existe k ∈ Z tel que k a ≡ 1 [ p ] . En déduire qu'il existe q ∈ Z tel que q 4 + 1 ≡ 0 [ p ] .

Diviseur premier d'une somme de puissances quatrièmes

Difficile

Soient $a, b \in Z$ premiers entre eux et $c = a^{4} + b^{4}$ . Soit $p$ un nombre premier tel que $p ∣ c$ et $p > 2$ .

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1 Indice 1

Pour 1, raisonnez par l'absurde : si $p$ divisait $a$, montrez qu'il diviserait aussi $b$, contredisant $a\\wedge b=1$.

2 Indice 2

Pour 2, appliquez le theoreme de Bezout a $a$ et $p$ puisqu'ils sont premiers entre eux.

3 Indice 3

Pour 3, multipliez la relation $a^4+b^4\\equiv 0\\ [p]$ par $k^4$ et utilisez $ka\\equiv 1\\ [p]$.

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour 1, raisonnez par l'absurde : si $p$ divisait $a$ , montrez qu'il diviserait aussi $b$ , contredisant $a w e d g e b = 1$ .

Pour 2, appliquez le theoreme de Bezout a $a$ et $p$ puisqu'ils sont premiers entre eux.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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