Énoncé Montrer que ( ∀ n ∈ N ∗ ) : n ∧ ( 2 n + 1 ) = 1 , puis que ( ∀ n ∈ N ∗ ) : n 2 ∧ ( 2 n + 1 ) = 1 . Soient n , d ∈ N ∗ tels que d ∣ 2 n + 1 . En déduire que n 2 ∧ d = 1 .

Premiers entre eux : n et 2n+1

Intermédiaire

Énoncé

Montrer que $(\forall n \in N^{*}) : n \land (2 n + 1) = 1$ , puis que $(\forall n \in N^{*}) : n^{2} \land (2 n + 1) = 1$ .
Soient $n, d \in N^{*}$ tels que $d ∣ 2 n + 1$ . En déduire que $n^{2} \land d = 1$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $n \wedge (2n+1) = 1$, cherche une relation de Bézout : essaie d'écrire $1$ comme combinaison linéaire de $n$ et $2n+1$. Que vaut $(2n+1) - 2 \times n$ ?

2 Indice 2

Pour $n^2 \wedge (2n+1)$, pose $d = n^2 \wedge (2n+1)$. Si $d$ divise $n^2$, alors $d$ divise aussi $2n^2$. Mais $d$ divise également $n(2n+1)$. Que peux-tu déduire par différence ?

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Pour montrer que $n \land (2 n + 1) = 1$ , cherche une relation de Bézout : essaie d'écrire $1$ comme combinaison linéaire de $n$ et $2 n + 1$ . Que vaut $(2 n + 1) - 2 \times n$ ?

Pour $n^{2} \land (2 n + 1)$ , pose $d = n^{2} \land (2 n + 1)$ . Si $d$ divise $n^{2}$ , alors $d$ divise aussi $2 n^{2}$ . Mais $d$ divise également $n (2 n + 1)$ . Que peux-tu déduire par différence ?

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