Somme de puissances quatrièmes et nombres premiers

Énoncé

Soient $a,b\in \mathbb{Z}$ premiers entre eux. On pose $c=a^4+b^4$.

1. a) Soit $x\in \mathbb{Z}$. Montrer que si $x$ est pair alors $x^4\equiv 0[16]$, et que si $x$ est impair alors $x^4\equiv 1[16]$. On donne $(X+1{)}^4=X^4+4X^3+6X^2+4X+1$.

   b) En déduire que $c\equiv 1[16]$ ou $c\equiv 2[16]$.

2. Soit $p$ un entier premier tel que $p\mid c$ et $p>2$.

   a) Montrer que $a\wedge p=1$.

   b) Montrer qu'il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $ka\equiv 1[p]$.

   c) En déduire qu'il existe $q\in \mathbb{Z}$ tel que $q^4+1\equiv 0[p]$.