Congruences et restes de puissances de 2

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Énoncé

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  1. a) Déterminer les entiers tels que .

    b) Déterminer les entiers tels que .

  2. a) Déterminer le reste de la division de par .

    b) Déterminer le reste de la division de par .

Indices

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1 Indice 1
Pour 1)a), isole $x$ dans la congruence $6+x \equiv 5\,[3]$ en soustrayant $6$ des deux côtés. Pour 1)b), teste les valeurs $x=0,1,2,3$ modulo $4$ pour trouver laquelle vérifie $3x \equiv 5\,[4]$.
2 Indice 2
Pour 2)a), calcule $2^4$ modulo $5$ : tu verras que c'est $1$. Ensuite, exprime $456$ comme multiple de $4$ pour utiliser $(2^4)^{114}$. Pour 2)b), calcule $2^3$ modulo $7$ et décompose $437=3 \times 145+2$.

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La méthode — par où commencer

Pour 1)a), isole dans la congruence en soustrayant des deux côtés. Pour 1)b), teste les valeurs modulo pour trouver laquelle vérifie .

Pour 2)a), calcule modulo : tu verras que c'est . Ensuite, exprime comme multiple de pour utiliser . Pour 2)b), calcule modulo et décompose .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Division euclidienne et divisibilité par 3 Tous les exercices du chapitre Nombres premiers entre eux et carré