Nombres premiers entre eux et carré

Difficile
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Énoncé

Énoncé

  1. Démontrer que pour tout entier naturel , les nombres et sont premiers entre eux.

  2. a) Montrer que , puis que .

    b) Soient tels que . En déduire que .

Indices

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1 Indice 1
Pour la première question, cherche une combinaison linéaire $\alpha(2n+3)+\beta(5n+7)$ qui donne $1$ (théorème de Bézout).
2 Indice 2
Pour 2)a), montre $n\wedge(2n+1)=1$ avec une combinaison de Bézout simple, puis utilise cette égalité pour traiter $n^2\wedge(2n+1)$ en manipulant les diviseurs communs.
3 Indice 3
Pour 2)b), pose $d'=n^2\wedge d$ et montre que $d'$ divise aussi $2n+1$, pour conclure via le résultat de la question précédente.

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La méthode — par où commencer

Pour la première question, cherche une combinaison linéaire qui donne (théorème de Bézout).

Pour 2)a), montre avec une combinaison de Bézout simple, puis utilise cette égalité pour traiter en manipulant les diviseurs communs.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Congruences et restes de puissances de 2 Tous les exercices du chapitre Premiers entre eux : n et 2n+1