Nombres premiers entre eux (Bézout)

Intermédiaire
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Énoncé

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  1. Démontrer que pour tout entier naturel , les nombres et sont premiers entre eux.

  2. Montrer que , puis en déduire que .

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer que deux nombres sont premiers entre eux, pense au théorème de Bézout : cherche une combinaison linéaire $a(2n+3) + b(5n+7) = 1$ avec des coefficients entiers $a$ et $b$.
2 Indice 2
Développe $5(2n+3) - 2(5n+7)$ et observe ce que tu obtiens. Pour la deuxième partie, écris $(2n+1) - 2n$ et utilise la même méthode.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que deux nombres sont premiers entre eux, pense au théorème de Bézout : cherche une combinaison linéaire avec des coefficients entiers et .

Développe et observe ce que tu obtiens. Pour la deuxième partie, écris et utilise la même méthode.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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