Restes, chiffre des unités et équation sans solution entière

Énoncé

1. Déterminer le reste de la division de $2022^{2023}$ par $7$.

2. Déterminer le chiffre des unités de $4444^{6666}+6666^{4444}$.

3. Déterminer le reste de la division de $34561^{2024}+56981^{2023}$ par $9$.

4. Montrer que l'équation $(E):9x^5-12x^4+6x-5=0$ n'admet pas de solution entière.

5. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $a_n=2n^2+5n+4$ et $b_n=2n+1$. Montrer que $a_n\wedge b_n=1$.