Énoncé Soit x ∈ Z . Montrer que si x est pair, alors x 4 ≡ 0 [ 16 ] . Montrer que si x est impair, alors x 4 ≡ 1 [ 16 ] . On pourra utiliser ( X + 1 ) 4 = X 4 + 4 X 3 + 6 X 2 + 4 X + 1 . Soient a , b ∈ Z premiers entre eux et c = a 4 + b 4 . En déduire que c ≡ 1 [ 16 ] ou c ≡ 2 [ 16 ] .

Puissances quatrièmes modulo 16

Difficile

Énoncé

Soit $x \in Z$ .

Montrer que si $x$ est pair, alors $x^{4} \equiv 0 [16]$ .
Montrer que si $x$ est impair, alors $x^{4} \equiv 1 [16]$ . On pourra utiliser $(X + 1)^{4} = X^{4} + 4 X^{3} + 6 X^{2} + 4 X + 1$ .
Soient $a, b \in Z$ premiers entre eux et $c = a^{4} + b^{4}$ . En déduire que $c \equiv 1 [16]$ ou $c \equiv 2 [16]$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, écrivez $x=2k$ et calculez directement $x^4$.

2 Indice 2

Pour la question 2, utilisez la formule donnée avec $X=2k$ et regroupez les termes pour factoriser un multiple de $16$ ; pensez à utiliser que $k(k+1)$ est toujours pair.

3 Indice 3

Pour la question 3, distinguez les cas selon la parité de $a$ et $b$ (ils ne peuvent pas être tous deux pairs car premiers entre eux), et combinez les résultats des questions 1 et 2.

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Pour la question 1, écrivez $x = 2 k$ et calculez directement $x^{4}$ .

Pour la question 2, utilisez la formule donnée avec $X = 2 k$ et regroupez les termes pour factoriser un multiple de $16$ ; pensez à utiliser que $k (k + 1)$ est toujours pair.

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