Division euclidienne et divisibilité par 3

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  1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de par , avec entier naturel.

  2. Démontrer que pour tout entier naturel , le produit est divisible par .

Indices

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1 Indice 1
Pour la division euclidienne, essaie d'écrire $5n+11$ sous la forme $q(2n+3) + r$ en factorisant d'abord le terme $2n$ dans $5n$. Pense à $5n = 2 \times 2n + n$.
2 Indice 2
Pour la divisibilité par $3$, observe que parmi trois entiers consécutifs $n-5$, $n$ et $n+5$, l'un d'eux doit forcément être divisible par $3$. Raisonne selon les restes possibles de $n$ modulo $3$.

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La méthode — par où commencer

Pour la division euclidienne, essaie d'écrire sous la forme en factorisant d'abord le terme dans . Pense à .

Pour la divisibilité par , observe que parmi trois entiers consécutifs , et , l'un d'eux doit forcément être divisible par . Raisonne selon les restes possibles de modulo .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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