نعتبر الدالة f المعرّفة على [ 1 ; e ] بـ f ( x ) = ln ( x ) . نقبل أنّ f ( x ) ≥ 0 على [ 1 ; e ] . 1) باستعمال المكاملة بالأجزاء، احسب 1 ∫ e ln ( x ) d x . 2) استنتج المساحة A ، بوحدة المساحة، للحيّز المحصور بين منحنى f ومحور الأفاصيل والمستقيمين x = 1 و x = e . 3) احسب القيمة المتوسطة لـ f على [ 1 ; e ] .

مساحة حيّز والدالة اللوغاريتمية

Difficile

نعتبر الدالة

f

المعرّفة على

[1; e]

بـ

f (x) = ln (x)

. نقبل أنّ

f (x) \geq 0

على

[1; e]

.
1) باستعمال المكاملة بالأجزاء، احسب

1 \int e ln (x) d x

.
2) استنتج المساحة

A

، بوحدة المساحة، للحيّز المحصور بين منحنى

f

ومحور الأفاصيل والمستقيمين

x = 1

x = e

.
3) احسب القيمة المتوسطة لـ

f

على

[1; e]

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1 الإرشاد 1

Pour l'intégration par parties, pose $u(x)=\ln(x)$ et $v'(x)=1$, donc $u'(x)=\dfrac{1}{x}$ et $v(x)=x$.

2 الإرشاد 2

Comme $f$ est positive sur $[1;e]$, l'aire sous la courbe est directement égale à l'intégrale calculée à la question précédente.

3 الإرشاد 3

La valeur moyenne d'une fonction sur $[a;b]$ est donnée par $\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour l'intégration par parties, pose $u (x) = ln (x)$ et $v^{'} (x) = 1$ , donc $u^{'} (x) = \frac{1}{x}$ et $v (x) = x$ .

Comme $f$ est positive sur $[1; e]$ , l'aire sous la courbe est directement égale à l'intégrale calculée à la question précédente.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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