Démonstration par récurrence

Commence par vérifier que la formule est vraie pour $n=1$, puis suppose qu'elle est vraie pour un certain rang $n$. Demande-toi ensuite ce que devient la somme $\sum _{k=1}^{n+1}k$ en fonction de $\sum _{k=1}^{n}k$.

Pour l'hérédité, écris $\sum _{k=1}^{n+1}k=\sum _{k=1}^{n}k+(n+1)$. Utilise maintenant l'hypothèse de récurrence pour remplacer $\sum _{k=1}^{n}k$ par $\frac{n(n+1)}{2}$, puis mets au même dénominateur.