Suites numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Rappels (suites arithmétiques et géométriques)

	Arithmétique	Géométrique
Raison	$r$ (on ajoute)	$q$ (on multiplie)
Récurrence	$u_{n + 1} = u_{n} + r$	$u_{n + 1} = q \cdot u_{n}$
Terme général	$u_{n} = u_{0} + n r$	$u_{n} = u_{0} q^{n}$
Somme	$S_{n} = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$	$S_{n} = u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ (si $q \neq = 1$ )

II. Convergence d'une suite

Définition

$(u_{n})$ converge vers $ℓ$ si $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ (limite finie).
Sinon, on dit que $(u_{n})$ diverge.

Cas particulier : suites géométriques

Si $∣ q ∣ < 1$ : $lim q^{n} = 0$ , donc $u_{n} = u_{0} q^{n} \to 0$
Si $q = 1$ : $u_{n} = u_{0}$ (constante)
Si $q > 1$ : $lim q^{n} = + \infty$ → diverge
Si $q \leq - 1$ : pas de limite (oscille)

III. Théorèmes de convergence

Théorème de convergence monotone

Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.

Théorème des gendarmes

Si $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ et $lim v_{n} = lim w_{n} = ℓ$ , alors $lim u_{n} = ℓ$ .

IV. Suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Méthode standard

Montrer par récurrence que $u_{n} \in I$ (intervalle stable par $f$ )
Étudier le sens de variation de $(u_{n})$ : comparer $u_{1}$ et $u_{0}$ , puis raisonner
Si croissante + majorée OU décroissante + minorée → convergence
Si $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ et $f$ continue : $ℓ = f (ℓ)$

V. Raisonnement par récurrence

Principe

Pour montrer qu'une propriété $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ :

Initialisation : vérifier $P (n_{0})$
Hérédité : supposer $P (n)$ vraie et démontrer $P (n + 1)$
Conclusion : par principe de récurrence, $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ .
1) Montrer par récurrence que $u_{n} < 6$ pour tout $n$ .
2) Montrer que $(u_{n})$ est croissante.
3) En déduire qu'elle converge et trouver sa limite.

Solution :

1) Init : $u_{0} = 1 < 6$ ✓.
Hérédité : supposons $u_{n} < 6$ . Alors $\frac{u _{n}}{2} < 3$ , et $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{2} + 3 < 3 + 3 = 6$ ✓.
Donc $u_{n} < 6$ pour tout $n$ .

2) $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{u _{n}}{2} + 3 - u_{n} = 3 - \frac{u _{n}}{2} > 0$ car $u_{n} < 6$ .
Donc $(u_{n})$ est croissante.

3) Croissante et majorée → converge vers $ℓ$ .
Par continuité : $ℓ = \frac{ℓ}{2} + 3 \Rightarrow \frac{ℓ}{2} = 3 \Rightarrow ℓ = 6$ .

VII. Top 5 pièges à éviter

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Croire que $u_{n}$ bornée ⇒ $u_{n}$ converge. FAUX (ex : $u_{n} = (- 1)^{n}$ ).
Conclure $ℓ = f (ℓ)$ sans justifier la continuité.
Oublier que pour $∣ q ∣ < 1$ , $q^{n} \to 0$ (cas suite géométrique).
Croire que $u_{n} \to ℓ \Rightarrow u_{n}$ atteint $ℓ$ . Pas nécessairement.

📈 Figure clé

Suite arithmétique

u_{n} = 2 + 3 n

🔑 Formules clés à retenir

Convergence : $lim u_{n} = ℓ$ (finie)

Suite géométrique :

$∣ q ∣ < 1$ : $u_{n} \to 0$
$∣ q ∣ > 1$ : $u_{n} \to \pm \infty$

Convergence monotone :

croissante + majorée → converge

Gendarmes : $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ , $v, w \to ℓ$

$\Rightarrow u_{n} \to ℓ$

Récurrence :

$u_{n + 1} = f (u_{n})$ , $u_{n} \to ℓ$ , $f$ continue

$\Rightarrow ℓ = f (ℓ)$

Récurrence math : init + hérédité + conclusion

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Pour la convergence : croissante + majorée OU décroissante + minorée. C'est LA méthode standard.
🎯 Astuce pour trouver $ℓ$ : résoudre $ℓ = f (ℓ)$ AVANT de prouver la convergence. Tu auras le candidat-limite.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Suites numériques

Type 1 : Démontrer une propriété par récurrence

Quand ? Une propriété $P (n)$ dépend de $n$ (inégalité, formule explicite, divisibilité) et tu veux la prouver pour tout $n$ .

Initialisation : vérifie $P (n_{0})$ pour le premier rang (souvent $n_{0} = 0$ ou $1$ ).
Hérédité : suppose $P (n)$ vraie pour un $n$ quelconque (hypothèse de récurrence).
Montre que $P (n + 1)$ est vraie en partant de l'hypothèse et en utilisant la relation $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .
Conclusion : « Par récurrence, $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ . »

Exemple éclair : Si $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 1}{2}$ , montrer que $u_{n} > 1$ : $P (0)$ : $u_{0} = 2 > 1$ vrai ; si $u_{n} > 1$ alors $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 1}{2} > \frac{1 + 1}{2} = 1$ .

Type 2 : Étudier la monotonie d'une suite

Quand ? On demande de prouver qu'une suite est croissante, décroissante ou constante.

Méthode du signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ : calcule la différence et étudie son signe.
Méthode du quotient : si tous les termes sont $> 0$ , compare $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ .
Méthode fonction : si $u_{n} = f (n)$ , étudie le sens de variation de $f$ sur $[n_{0}; + \infty [$ .
Conclus : croissante si $u_{n + 1} - u_{n} \geq 0$ , décroissante si $\leq 0$ .

Exemple éclair : $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$ : $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} - \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} > 0$ , donc $(u_{n})$ est croissante.

Type 3 : Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique

Quand ? On te donne une relation de récurrence et tu dois identifier la nature de la suite puis calculer une somme.

Arithmétique : si $u_{n + 1} - u_{n} = r$ constante. Terme général $u_{n} = u_{0} + n r$ . Somme $S = \frac{( nb termes ) ( 1er + dernier )}{2}$ .
Géométrique : si $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = q$ constante. Terme général $u_{n} = u_{0} q^{n}$ . Somme $S = u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ pour $q \neq = 1$ .
Identifie le premier terme, la raison, puis applique la formule du terme général.
Pour une somme, compte précisément le nombre de termes.

Exemple éclair : $v_{n + 1} = 3 v_{n}$ avec $v_{0} = 2$ : géométrique de raison $q = 3$ , donc $v_{n} = 2 \cdot 3^{n}$ et $k = 0 \sum n v_{k} = 2 \frac{3 ^{n + 1} - 1}{2} = 3^{n + 1} - 1$ .

Type 4 : Suite auxiliaire pour se ramener à une suite géométrique

Quand ? La relation est de la forme $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ (avec $a \neq = 1$ ) ; on pose une suite $v_{n}$ qui, elle, est géométrique.

Cherche le point fixe $ℓ$ solution de $ℓ = a ℓ + b$ , soit $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ .
Pose $v_{n} = u_{n} - ℓ$ : montre que $v_{n + 1} = a v_{n}$ , donc $(v_{n})$ est géométrique de raison $a$ .
Exprime $v_{n} = v_{0} a^{n}$ puis reviens à $u_{n} = v_{n} + ℓ$ .
Déduis le terme général et la limite éventuelle.

Exemple éclair : $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ : point fixe $ℓ = 6$ ; $v_{n} = u_{n} - 6$ vérifie $v_{n + 1} = \frac{1}{2} v_{n}$ , donc $u_{n} = 6 + (u_{0} - 6) (\frac{1}{2})^{n}$ .

Type 5 : Étudier la convergence et calculer une limite

Quand ? On demande si la suite converge et vers quelle valeur.

Suite monotone bornée : si croissante et majorée (ou décroissante et minorée), elle converge (théorème de convergence monotone).
Encadrement / gendarmes : si $a_{n} \leq u_{n} \leq b_{n}$ avec $a_{n}$ et $b_{n}$ de même limite $ℓ$ , alors $u_{n} \to ℓ$ .
Limite du point fixe : si $u_{n + 1} = f (u_{n})$ converge et $f$ continue, la limite $ℓ$ vérifie $ℓ = f (ℓ)$ .
Pour les formes explicites, lève l'indétermination (factorisation, terme dominant).

Exemple éclair : $u_{n + 1} = u_{n} + 2$ croissante et majorée par $2$ donc converge ; la limite vérifie $ℓ = ℓ + 2$ , d'où $ℓ^{2} - ℓ - 2 = 0$ et $ℓ = 2$ .

Type 6 : Suites adjacentes

Quand ? Deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ semblent se rapprocher ; on veut prouver qu'elles convergent vers la même limite.

Montre que $(u_{n})$ est croissante et $(v_{n})$ décroissante (ou l'inverse).
Montre que $u_{n} - v_{n} \to 0$ .
Conclus : les suites sont adjacentes, donc elles convergent vers une même limite $ℓ$ .
Vérifie toujours l'encadrement $u_{n} \leq ℓ \leq v_{n}$ .

Exemple éclair : $u_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ (croissante) et $v_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ (décroissante) avec $v_{n} - u_{n} = \frac{2}{n} \to 0$ : adjacentes, limite commune $1$ .

Suites numériques — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

71 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

25 exercices

Différence avec coefficient

Facile

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = df r a c 12 u_{n}$ pour tout $n in ma t hbb N$ .

On admet que $u_{n} > 0$ pour tout $n$ . Déterminer le sens de variation de $(u_{n})$ à l'aide du signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ .

Ma réponse

Suites numériques

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I. Rappels (suites arithmétiques et géométriques)

II. Convergence d'une suite

Définition

Cas particulier : suites géométriques

III. Théorèmes de convergence

Théorème de convergence monotone

Théorème des gendarmes

IV. Suites récurrentes un+1​=f(un​)

Méthode standard

V. Raisonnement par récurrence

Principe

VI. Méthode BAC type 2024

VII. Top 5 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Suites numériques

Type 1 : Démontrer une propriété par récurrence

Type 2 : Étudier la monotonie d'une suite

Type 3 : Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique

Type 4 : Suite auxiliaire pour se ramener à une suite géométrique

Type 5 : Étudier la convergence et calculer une limite

Type 6 : Suites adjacentes

Suites numériques — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Différence avec coefficient

Expression rationnelle (2n+1)/(n+1)

Limite de (1/3)^n

Limite de (3/2)^n

Majoration par récurrence

Minoration par récurrence

Monotonie via le signe de la différence

Opérations : 3 + 1/n

Reconnaître la nature d'une suite

Signe de la différence et fonction racine

Somme de termes d'une suite arithmétique

Somme de termes d'une suite géométrique

Somme géométrique infinie

Limite suite géométrique

Suite par récurrence simple

Somme géométrique

Reconnaissance de nature

Somme partielle

Limite d'une suite géométrique

Limite d'une suite arithmétique

Termes d'une suite récurrente

Suite arithmétique : terme et somme

Suite géométrique : terme et limite

Terme général d'une suite arithmétique

Terme général d'une suite géométrique

Exercices Intermédiaires

Application : épargne mensuelle

Application : évolution d'une population

Combinaison avec une suite géométrique

Croissance et majoration combinées

Différence avec fonction homographique

Encadrement puis monotonie

Étude complète d'une suite affine

Quotient (5^n - 2^n)/5^n

Quotient avec une racine carrée

Quotient de polynômes de degré 2

Série géométrique 2/3 + 2/9 + ...

Somme avec terme général donné

Suite arithmétique connaissant deux termes

Suite auxiliaire géométrique

Suite décroissante minorée

Suite géométrique connaissant deux termes

Suite géométrique de raison négative

Suite positive croissante avec racine

Convergence par théorème des gendarmes

Démonstration par récurrence

Suite récurrente : étude convergence

Limite d'une suite définie par récurrence

Récurrence math

IV. Suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$