قابلية القسمة والباقي — استكشاف n³ − n

Facile Inspiré BAC Côte d'Ivoire
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Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire
Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 1 — القابلية للقسمة والموافقات (المستوى: سهل)

لتكن العبارة E(n) = − n، حيث n عدد صحيح طبيعي.

  1. عامل E(n) إلى جداء ثلاثة عوامل متتالية.
  2. استنتج أن E(n) قابل للقسمة على 6 لكل عدد صحيح طبيعي n. (يجب تبرير قابلية القسمة على 2 وعلى 3 بشكل منفصل وبعناية.)
  3. احسب باقي قسمة E(2023) على 6.

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour factoriser $E(n) = n^3 - n$, commence par mettre $n$ en facteur, puis reconnaître dans ce qui reste une identité remarquable : c'est une différence de deux carrés.
2 الإرشاد 2
Une fois factorisé, tu obtiens le produit de trois nombres consécutifs. Pour la divisibilité par 2 et par 3, demande-toi : parmi plusieurs entiers qui se suivent, y en a-t-il forcément un pair ? un multiple de 3 ?

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour factoriser , commence par mettre en facteur, puis reconnaître dans ce qui reste une identité remarquable : c'est une différence de deux carrés.

Une fois factorisé, tu obtiens le produit de trois nombres consécutifs. Pour la divisibilité par 2 et par 3, demande-toi : parmi plusieurs entiers qui se suivent, y en a-t-il forcément un pair ? un multiple de 3 ?

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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معادلة ديوفانتية ومسألة تذاكر كل تمارين الدرس أعداد أولية فيما بينها، مبرهنة غاوس والقواسم