Entiers premiers entre eux, théorème de Gauss et diviseurs

Exercice 5 — Théorème de Gauss et étude de diviseurs (Niveau : Difficile)

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On pose d = pgcd(n, n+1).

1. Montrer que d | 1, et en déduire que n et n+1 sont premiers entre eux.
2. Soit a et b deux entiers tels que a | n et b | (n+1), avec pgcd(a, b) = 1. Montrer que ab | n(n+1).
3. On pose P(n) = $n(n+1)(2n+1)$. Montrer que 6 | P(n) pour tout entier naturel n $\ge$ 1.
   Indication : on étudiera la divisibilité par 2 et par 3 séparément en utilisant les congruences.
4. On admet que $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. En déduire que la somme des carrés des 10 premiers entiers naturels non nuls est un entier, et calculer cette somme.