Divisibilité et restes — Exploration de n³ − n

Facile Inspiré BAC Côte d'Ivoire
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Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire
Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 1 — Divisibilité et congruences (Niveau : Facile)

Soit l'expression E(n) = − n, où n est un entier naturel.

  1. Factoriser E(n) en un produit de trois facteurs consécutifs.
  2. En déduire que E(n) est divisible par 6 pour tout entier naturel n. (On justifiera soigneusement la divisibilité par 2 et par 3 séparément.)
  3. Calculer le reste de la division de E(2023) par 6.

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour factoriser $E(n) = n^3 - n$, commence par mettre $n$ en facteur, puis reconnaître dans ce qui reste une identité remarquable : c'est une différence de deux carrés.
2 Indice 2
Une fois factorisé, tu obtiens le produit de trois nombres consécutifs. Pour la divisibilité par 2 et par 3, demande-toi : parmi plusieurs entiers qui se suivent, y en a-t-il forcément un pair ? un multiple de 3 ?

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La méthode — par où commencer

Pour factoriser , commence par mettre en facteur, puis reconnaître dans ce qui reste une identité remarquable : c'est une différence de deux carrés.

Une fois factorisé, tu obtiens le produit de trois nombres consécutifs. Pour la divisibilité par 2 et par 3, demande-toi : parmi plusieurs entiers qui se suivent, y en a-t-il forcément un pair ? un multiple de 3 ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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