التمرين 5 — مبرهنة غاوس ودراسة القواسم (المستوى: صعب) ليكن n عددا صحيحا طبيعيا أكبر من أو يساوي 2. نضع d = pgcd(n, n+1) . بين أن d | 1، واستنتج أن n و n+1 أوليان فيما بينهما. ليكن a و b عددين صحيحين بحيث a | n و b | (n+1)، مع pgcd(a, b) = 1. بين أن ab | n(n+1). نضع P(n) = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) . بين أن 6 | P(n) لكل عدد صحيح طبيعي n ≥ 1. إرشاد: ادرس قابلية القسمة على 2 وعلى 3 بشكل منفصل باستخدام الموافقات. نقبل أن k = 1 ∑ n k 2 = 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) . استنتج أن مجموع مربعات الأعداد الصحيحة الطبيعية العشرة الأولى غير المنعدمة هو عدد صحيح، واحسب هذا المجموع.

أعداد أولية فيما بينها، مبرهنة غاوس والقواسم

Difficile Inspiré BAC Côte d'Ivoire

Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire

Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 5 — مبرهنة غاوس ودراسة القواسم (المستوى: صعب)

ليكن n عددا صحيحا طبيعيا أكبر من أو يساوي 2. نضع d = pgcd(n, n+1).

بين أن d | 1، واستنتج أن n و n+1 أوليان فيما بينهما.
ليكن a و b عددين صحيحين بحيث a | n و b | (n+1)، مع pgcd(a, b) = 1. بين أن ab | n(n+1).
نضع P(n) = $n (n + 1) (2 n + 1)$ . بين أن 6 | P(n) لكل عدد صحيح طبيعي n $\geq$ 1.
إرشاد: ادرس قابلية القسمة على 2 وعلى 3 بشكل منفصل باستخدام الموافقات.
نقبل أن $k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ . استنتج أن مجموع مربعات الأعداد الصحيحة الطبيعية العشرة الأولى غير المنعدمة هو عدد صحيح، واحسب هذا المجموع.

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للسؤال 1، استعمل كون $d$ يقسم $n$ و $n+1$، إذن $d$ يقسم الفرق بينهما.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للسؤال 2، استعمل مبرهنة Gauss: إذا كان $a$ و $b$ أوليين فيما بينهما ويقسمان $n$ و $n+1$ على التوالي، فكر في الجداء $ab$ وعلاقته بقسمة $n(n+1)$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 3، ادرس زوجية $n$ (حالة $n$ زوجي وحالة $n$ فردي) ثم بواقي القسمة على $3$ للحالات $n \\equiv 0, 1, 2 \\pmod{3}$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

بالنسبة للسؤال 1، استعمل كون $d$ يقسم $n$ و $n + 1$ ، إذن $d$ يقسم الفرق بينهما.

بالنسبة للسؤال 2، استعمل مبرهنة Gauss: إذا كان $a$ و $b$ أوليين فيما بينهما ويقسمان $n$ و $n + 1$ على التوالي، فكر في الجداء $ab$ وعلاقته بقسمة $n (n + 1)$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

قابلية القسمة والباقي — استكشاف n³ − n كل تمارين الدرس القاسم المشترك الأكبر، بيزو والمعادلة الديوفانتية

أعداد أولية فيما بينها، مبرهنة غاوس والقواسم

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

أعداد أولية فيما بينها، مبرهنة غاوس والقواسم

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯