الموافقات والقوى وقابلية القسمة

Intermédiaire Inspiré BAC Côte d'Ivoire
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Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire
Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 3 — الموافقات وقابلية قسمة تعبير عددي صحيح

ليكن n عددا صحيحا طبيعيا. نضع A(n) = .

  1. احسب A(0) و A(1) و A(2). هل هذه القيم قابلة للقسمة على 4؟

  2. بين أن وأن . استنتج موافقات و بترديد 4 حسب زوجية n.

    إشارة: ميز بين الحالتين n زوجي و n فردي.

  3. بين أن لكل عدد صحيح طبيعي n.

  4. نضع B(n) = A(n) / 4. حدد باقي القسمة الإقليدية لـ B(n) على 3 لكل n . سنستعمل الموافقات بترديد 12.

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour la question 3, commence par écrire $A(n)$ en utilisant les congruences de $7^n$ et $3^n$ modulo 4 que tu as trouvées en question 2. Traite séparément le cas où $n$ est pair et le cas où $n$ est impair.
2 الإرشاد 2
Pour la question 4, travaille modulo 12 (car $12 = 4 \times 3$). Pose $n = 2m$ et calcule $7^{2m} \equiv ?$ puis $3^{2m} \equiv ?$ modulo 12. Déduis-en $A(n)$ modulo 12, puis $B(n)$ modulo 3.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour la question 3, commence par écrire en utilisant les congruences de et modulo 4 que tu as trouvées en question 2. Traite séparément le cas où est pair et le cas où est impair.

Pour la question 4, travaille modulo 12 (car ). Pose et calcule puis modulo 12. Déduis-en modulo 12, puis modulo 3.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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