Lemme de Gauss et nombres premiers — Niveau intermédiaire

Intermédiaire Inspiré BAC Côte d'Ivoire
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Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire
Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 4 On rappelle le lemme de Gauss : si et , alors . Soient des entiers avec et . Montrer que . Soit un nombre premier. Montrer que si alors . On considere l'equation (E) : . a. Calculer mod 7 pour . b. Conclure quant a l'existence de solutions entieres de (E). Montrer que l'equation n'admet aucune solution dans .

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer que $\mathrm{pgcd}(ab,n) = 1$, pense au théorème de Bézout : si $\mathrm{pgcd}(a,n)=1$, alors il existe des entiers $u,v$ tels que $au+nv=1$. Écris une relation similaire pour $b$ et $n$, puis multiplie les deux égalités.
2 Indice 2
En multipliant $(au+nv)(bs+nt)=1$, développe le produit et mets en facteur $ab$ d'un côté et $n$ de l'autre pour obtenir une relation de Bézout entre $ab$ et $n$.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que , pense au théorème de Bézout : si , alors il existe des entiers tels que . Écris une relation similaire pour et , puis multiplie les deux égalités.

En multipliant , développe le produit et mets en facteur d'un côté et de l'autre pour obtenir une relation de Bézout entre et .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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