Congruences et reste — Calcul de 7¹⁰⁰ mod 5

Exercice 2

On s'intéresse aux puissances de certains entiers modulo des entiers fixés.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 7 par 5, puis montrer que $7^2\equiv 4(\mathrm{mod}5)$.
2. Montrer que $7^4\equiv 1(\mathrm{mod}5)$, puis établir que pour tout entier k $\in \mathbb{N}$, $7^{4k}\equiv 1(\mathrm{mod}5)$.
3. En déduire le reste de la division euclidienne de $7^{100}$ par 5.
4. Déterminer le reste de la division euclidienne de $3^{2023}$ par 4.