أعداد أولية فيما بينها ومعادلة ديوفانتية

Intermédiaire Inspiré BAC Cameroun
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Exercice inspiré d'un BAC Cameroun
Source-style : BAC Cameroun Série C 2023
Inspiré du style BAC Cameroun Série C 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 4

ليكن n . نضع A = 2n + 5 و B = 3n + 7.

  1. أحسب 3A − 2B واستنتج القاسم المشترك الأكبر لـ (A, B).
  2. بين أن A و B أوليان فيما بينهما إذا وفقط إذا كان pgcd(A, B) = 1، وأن هذا الشرط محقق دائمًا هنا.
  3. يتوفر تاجر في مراكش على نوعين من الطرود: طرود من النوع I تزن (2n+5) kg وطرود من النوع II تزن (3n+7) kg، حيث n = 4. يرغب في تكوين مجموعتين لهما نفس الكتلة الإجمالية، إحداهما فقط من طرود النوع I، والأخرى فقط من طرود النوع II. حدد العدد الأدنى من الطرود من كل نوع اللازم لذلك.

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour la première question, développe l'expression $3A - 2B$ en remplaçant $A$ et $B$ par leurs valeurs $(2n+5)$ et $(3n+7)$. Observe bien ce que tu obtiens après simplification : c'est la clé pour trouver le pgcd.
2 الإرشاد 2
Pour le problème du commerçant avec $n=4$, commence par calculer les masses $A$ et $B$. Tu cherches ensuite combien de colis de chaque type pour avoir la même masse totale : écris l'équation $13x = 19y$ et demande-toi quel est le plus petit multiple commun.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour la première question, développe l'expression en remplaçant et par leurs valeurs et . Observe bien ce que tu obtiens après simplification : c'est la clé pour trouver le pgcd.

Pour le problème du commerçant avec , commence par calculer les masses et . Tu cherches ensuite combien de colis de chaque type pour avoir la même masse totale : écris l'équation et demande-toi quel est le plus petit multiple commun.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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