نرمز بـ d : N ∗ → N ∗ التطبيق الذي يربط كل n ∈ N ∗ بعدد القواسم ≥ 1 لـ n . بين أنه لكل a ∈ N ∖ { 0 , 1 } ، ولكل n ∈ N ∗ ، لدينا: d ( a n − 1 ) ≥ d ( n ) .

عدد القواسم والقوى

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Mohammed Aassila — Objectif Olympiades de Mathématiques, Tome 5 : Arithmétique

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

نرمز بـ $d : N^{*} \to N^{*}$ التطبيق الذي يربط كل $n \in N^{*}$ بعدد القواسم $\geq 1$ لـ $n$ . بين أنه لكل $a \in N ∖ {0, 1}$ ، ولكل $n \in N^{*}$ ، لدينا: $d (a^{n} - 1) \geq d (n)$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pense à établir un lien entre les diviseurs de $n$ et les diviseurs de $a^n - 1$. Si $k$ divise $n$, que peux-tu dire de $a^k - 1$ et $a^n - 1$ ?

2 الإرشاد 2

Écris $n = km$ et factorise $a^n - 1 = (a^k)^m - 1$. Utilise la formule $X^m - 1 = (X-1)(X^{m-1} + X^{m-2} + \cdots + 1)$ avec $X = a^k$.

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Pense à établir un lien entre les diviseurs de $n$ et les diviseurs de $a^{n} - 1$ . Si $k$ divise $n$ , que peux-tu dire de $a^{k} - 1$ et $a^{n} - 1$ ?

Écris $n = k m$ et factorise $a^{n} - 1 = (a^{k})^{m} - 1$ . Utilise la formule $X^{m} - 1 = (X - 1) (X^{m - 1} + X^{m - 2} + \dots + 1)$ avec $X = a^{k}$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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