التمرين 4 — متتالية معرفة بعلاقة تراجعية واللوغاريتم نُعرف المتتالية ( u n ) بما يلي: u 0 = 2 ولكل n ∈ N ، u n + 1 = ln ( u n + e − 1 ) . نرمز بـ f للدالة المعرفة على ] 1 − e , + ∞ [ بـ f ( x ) = ln ( x + e − 1 ) . بين أن f تقبل نقطة ثابتة وحيدة ℓ ، ثم حدد قيمتها. بين بالترجع أنه لكل n ∈ N ، u n ≥ 1 . بين أن المتتالية ( u n ) تناقصية. إرشاد: ادرس إشارة u n + 1 − u n . استنتج أن المتتالية ( u n ) متقاربة، ثم حدد نهايتها. نضع v n = u n − 1 . بين أن v n + 1 ≤ v n /2 لكل n ∈ N (يمكن استعمال المتراجحة ln ( 1 + t ) ≤ t الصالحة لـ t > − 1 ). استنتج تأطيرا لـ u n − 1 .

المتتالية اللوغاريتمية والتقارب

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 4 — متتالية معرفة بعلاقة تراجعية واللوغاريتم

نُعرف المتتالية $(u_{n})$ بما يلي: $u_{0} = 2$ ولكل $n \in N$ ، $u_{n + 1} = ln (u_{n} + e - 1)$ .

نرمز بـ $f$ للدالة المعرفة على $] 1 - e, + \infty [$ بـ $f (x) = ln (x + e - 1)$ .

بين أن $f$ تقبل نقطة ثابتة وحيدة $ℓ$ ، ثم حدد قيمتها.
بين بالترجع أنه لكل $n \in N$ ، $u_{n} \geq 1$ .
بين أن المتتالية $(u_{n})$ تناقصية. إرشاد: ادرس إشارة $u_{n + 1} - u_{n}$ .
استنتج أن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة، ثم حدد نهايتها.
نضع $v_{n} = u_{n} - 1$ . بين أن $v_{n + 1} \leq v_{n} /2$ لكل $n \in N$ (يمكن استعمال المتراجحة $ln (1 + t) \leq t$ الصالحة لـ $t > - 1$ ). استنتج تأطيرا لـ $u_{n} - 1$ .

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points