Étude complète d'une fonction avec logarithme

Exercice 3 — Étude complète d'une fonction

On considère la fonction g définie sur ]0 ; +$\infty$[ par :

$g(x)=(\ln (x){)}^2-2\ln (x)$

1. Déterminer les limites de g en $0^{+}$ et en +$\infty$.
2. Calculer $g^{\prime }(x)$ et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de g.
3. Déterminer les points d'intersection de la courbe représentative de g avec l'axe des abscisses.
4. Montrer que la tangente à la courbe de g au point d'abscisse $x=1$ est horizontale. Écrire l'équation de cette tangente.
5. Étudier la convexité de g (on calculera $g^{\prime \prime }(x)$) et déterminer les éventuels points d'inflexion.