Exercice 4 — Suite définie par récurrence et logarithme On définit la suite ( u n ) par : u 0 = 2 et pour tout n ∈ N , u n + 1 = ln ( u n + e − 1 ) . On note f la fonction définie sur ] 1 − e , + ∞ [ par f ( x ) = ln ( x + e − 1 ) . Montrer que f admet un unique point fixe ℓ , et déterminer sa valeur. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N , u n ≥ 1 . Montrer que la suite ( u n ) est décroissante. Indication : étudier le signe de u n + 1 − u n . En déduire que la suite ( u n ) converge, puis déterminer sa limite. On pose v n = u n − 1 . Montrer que v n + 1 ≤ v n /2 pour tout n ∈ N (on utilisera l'inégalité ln ( 1 + t ) ≤ t valable pour t > − 1 ). En déduire un encadrement de u n − 1 .

Suite récurrente et logarithme — Convergence — Bac France 2024

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Exercice 4 — Suite définie par récurrence et logarithme

On définit la suite $(u_{n})$ par : $u_{0} = 2$ et pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} = ln (u_{n} + e - 1)$ .

On note $f$ la fonction définie sur $] 1 - e, + \infty [$ par $f (x) = ln (x + e - 1)$ .

Montrer que $f$ admet un unique point fixe $ℓ$ , et déterminer sa valeur.
Montrer par récurrence que pour tout $n \in N$ , $u_{n} \geq 1$ .
Montrer que la suite $(u_{n})$ est décroissante. Indication : étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ .
En déduire que la suite $(u_{n})$ converge, puis déterminer sa limite.
On pose $v_{n} = u_{n} - 1$ . Montrer que $v_{n + 1} \leq v_{n} /2$ pour tout $n \in N$ (on utilisera l'inégalité $ln (1 + t) \leq t$ valable pour $t > - 1$ ). En déduire un encadrement de $u_{n} - 1$ .

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