Étude de f(x) = ln(x) - x + 2 : variations et équation

Exercice 1 — Étude d'une fonction logarithmique

On considère la fonction f définie sur $]0,+\infty [$ par :

$f(x)=\ln (x)-x+2$

1. Déterminer les limites de f en $0^{+}$ et en $+\infty$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in ]0,+\infty [$. En déduire le tableau de variations de f.
3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions sur $]0,+\infty [$. On notera $\alpha$ et $\beta$ ces solutions avec $\alpha <\beta$.
4. Préciser le signe de $f(x)$ sur $]0,+\infty [$.