Étude complète d'une fonction avec ln et exponentielle

Exercice 3 — Étude complète d'une fonction

On considère la fonction g définie sur $]0,+\infty [$ par :

$g(x)=x\cdot \ln (x)-x+1$

1. Calculer les limites de g en $0^{+}$ et en $+\infty$.
2. Calculer $g^{\prime }(x)$ pour tout $x\in ]0,+\infty [$. Étudier son signe et dresser le tableau de variations de g.
3. Montrer que pour tout $x\in ]0,+\infty [$, $g(x)\ge 0$, avec égalité si et seulement si $x=1$.
4. En déduire que pour tout $x>0$ : $\ln (x)\ge 1-\frac{1}{x}$. Vérifier l'inégalité pour $x=e$.
5. À l'aide de la question 3, démontrer que pour tous réels $a>0$ et $b>0$ : $\ln \left(\frac{a}{b}\right)\ge 1-\frac{b}{a}$.