Étude complète d'une fonction complexe avec ln — Asymptote et aire

Exercice 5 — Étude complète et calcul d'aire

On considère la fonction h définie sur $]0,+\infty [$ par :

$h(x)=(\ln (x){)}^2-2\cdot \ln (x)$

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Calculer les limites de h en $0^{+}$ et en $+\infty$. Interpréter graphiquement.
2. Calculer $h^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations complet de h.
3. Déterminer les points d'intersection de (C) avec l'axe des abscisses.
4. Montrer que la droite d'équation $y=-1$ est tangente à (C) en un point A dont on précisera les coordonnées.
5. On considère le domaine D délimité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e^2$. Calculer l'aire de D en unités d'aire.