Exercice 2 — Équations et inéquations logarithmiques Partie A — Équations Résoudre dans R l'équation : ln ( x 2 − 3 ) = ln ( 2 x − 1 ) , en précisant le domaine de validité. Résoudre dans R l'équation : 2 [ ln ( x ) ] 2 − 3 ln ( x ) + 1 = 0 . Partie B — Inéquation Résoudre dans R l'inéquation : ln ( 2 x + 1 ) ≥ ln ( x + 3 ) . Partie C — Calcul numérique Sans calculatrice, simplifier l'expression : A = ln ( e 3 ) + ln ( 1/ e ) − 2 ⋅ ln ( e 2 ) .

Équations et inéquations avec le logarithme

Facile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 2 — Équations et inéquations logarithmiques

Partie A — Équations

Résoudre dans $R$ l'équation : $ln (x^{2} - 3) = ln (2 x - 1)$ , en précisant le domaine de validité.
Résoudre dans $R$ l'équation : $2 [ln (x)]^{2} - 3 ln (x) + 1 = 0$ .

Partie B — Inéquation

Résoudre dans $R$ l'inéquation : $ln (2 x + 1) \geq ln (x + 3)$ .

Partie C — Calcul numérique

Sans calculatrice, simplifier l'expression : $A = ln (e^{3}) + ln (1/ e) - 2 \cdot ln (e^{2})$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour chaque équation ou inéquation logarithmique, commence toujours par déterminer le domaine de validité : quelles conditions sur $x$ rendent les expressions à l'intérieur des logarithmes strictement positives ?

2 Indice 2

Une fois le domaine trouvé, utilise l'injectivité du logarithme : $\ln(A) = \ln(B)$ équivaut à $A = B$, et $\ln(A) \geq \ln(B)$ équivaut à $A \geq B$ car $\ln$ est croissante. Vérifie ensuite que tes solutions appartiennent au domaine.

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Une fois le domaine trouvé, utilise l'injectivité du logarithme : $ln (A) = ln (B)$ équivaut à $A = B$ , et $ln (A) \geq ln (B)$ équivaut à $A \geq B$ car $ln$ est croissante. Vérifie ensuite que tes solutions appartiennent au domaine.

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