Logarithme décimal — modèle de croissance et inégalités

Exercice 6 — Modèle logarithmique et logarithme décimal

Une ville de la région de Marrakech-Safi a une population modélisée par :

$P(t)=P_0\times 10^{kt}$

où t est le temps en années (t = 0 en 2000), $P_0=50000$ habitants et $k>0$ une constante.

On sait qu'en 2020 (t = 20), la population était de 80 000 habitants.

1. Montrer que $k=\frac{\log (8/5)}{20}$. Donner une valeur approchée de k à $10^{-4}$ près. (On rappelle que $\log (x)=\frac{\ln (x)}{\ln (10)}$.)
2. On note f la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $f(t)=50000\times 10^{kt}$. Calculer $f^{\prime }(t)$ et interpréter son signe.
3. Déterminer l'année à partir de laquelle la population dépassera 100 000 habitants. (Exprimer le résultat à l'aide du logarithme décimal, puis donner la valeur numérique.)
4. On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_n=\log (n)$ pour $n\ge 1$. Montrer que pour tout entier $n\ge 1$ : $a_{n+1}-a_n=\log \left(1+\frac{1}{n}\right)$. En déduire que la suite $(a_n)$ est strictement croissante.
5. Montrer que pour tout entier $n\ge 1$ : $a_{n+1}-a_n\le \frac{1}{n\cdot \ln (10)}$. (On utilisera l'inégalité $\ln (1+x)\le x$ valable pour tout $x>-1$.)