التمرين 6 — وضعية-مسألة: النمذجة والتحسين تقوم مؤسسة بالدار البيضاء بتحليل تطور زبنائها. عدد الزبناء (بالآلاف) بعد t سنة من التشغيل يُنمذج بالدالة: N ( t ) = a ⋅ ln ( t + 1 ) + b حيث a و b عددان حقيقيان، معرفة من أجل t ≥ 0 . نعلم أن N ( 0 ) = 5 ( 5 000 زبون عند الانطلاق) و N ( e − 1 ) = 8 ( 8 000 زبون بعد e − 1 سنة). حدد قيمتي a و b . نعرف التكلفة المتوسطة لكل زبون (بالدرهم) بـ: C ( t ) = N ( t ) 1000 ⋅ t من أجل t > 0 . احسب t → + ∞ lim C ( t ) . فسر النتيجة. نريد تصغير C ( t ) . بين أن C ′ ( t ) = ( N ( t ) ) 2 1000 ⋅ ( ln ( t + 1 ) − t + 1 t ) . ادرس إشارة C ′ ( t ) بوضع φ ( t ) = ln ( t + 1 ) − t + 1 t . بين أن φ تزايدية قطعا على [ 0 , + ∞ [ واستنتج أن C تزايدية قطعا على ] 0 , + ∞ [ . استنتج حول وجود قيمة صغرى. تقرر المؤسسة الاستثمار عندما يصبح معدل النمو اللحظي لعدد الزبناء، المعرف بـ N ( t ) N ′ ( t ) ، أقل من 0 , 1 . حدد ابتداء من أي سنة t ∗ يحدث ذلك (عبر عن t ∗ بدلالة a ).

مسألة: نمذجة لوغاريتمية — نمو وسكان

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 6 — وضعية-مسألة: النمذجة والتحسين

تقوم مؤسسة بالدار البيضاء بتحليل تطور زبنائها. عدد الزبناء (بالآلاف) بعد $t$ سنة من التشغيل يُنمذج بالدالة:

$N (t) = a \cdot ln (t + 1) + b$

حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان، معرفة من أجل $t \geq 0$ .

نعلم أن $N (0) = 5$ ( $5$ $000$ زبون عند الانطلاق) و $N (e - 1) = 8$ ( $8$ $000$ زبون بعد $e - 1$ سنة).

حدد قيمتي $a$ و $b$ .
نعرف التكلفة المتوسطة لكل زبون (بالدرهم) بـ: $C (t) = \frac{1000 \cdot t}{N ( t )}$ من أجل $t > 0$ . احسب $t \to + \infty lim C (t)$ . فسر النتيجة.
نريد تصغير $C (t)$ . بين أن $C^{'} (t) = \frac{1000 \cdot ( ln ( t + 1 ) - \frac{t}{t + 1} )}{( N ( t ) ) ^{2}}$ . ادرس إشارة $C^{'} (t)$ بوضع $φ (t) = ln (t + 1) - \frac{t}{t + 1}$ .
بين أن $φ$ تزايدية قطعا على $[0, + \infty [$ واستنتج أن $C$ تزايدية قطعا على $] 0, + \infty [$ . استنتج حول وجود قيمة صغرى.
تقرر المؤسسة الاستثمار عندما يصبح معدل النمو اللحظي لعدد الزبناء، المعرف بـ $\frac{N ^{'} ( t )}{N ( t )}$ ، أقل من $0, 1$ . حدد ابتداء من أي سنة $t^{*}$ يحدث ذلك (عبر عن $t^{*}$ بدلالة $a$ ).

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للسؤال 1، استعمل $N(0)=5$ لإيجاد $b$ مباشرة (لأن $\ln 1=0$)، ثم $N(e-1)=8$ ملاحظا أن $\ln((e-1)+1)=\ln e=1$.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للسؤال 2، قارن نمو $\ln(t+1)$ بنمو $t$ عندما $t\to+\infty$: أيهما يهيمن على الآخر؟

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 3، اشتق $C(t)=\dfrac{1000t}{N(t)}$ كخارج قسمة، ثم ادرس إشارة البسط بوضع $\varphi(t)=\ln(t+1)-\dfrac{t}{t+1}$ وحساب $\varphi'(t)$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للسؤال 1، استعمل $N (0) = 5$ لإيجاد $b$ مباشرة (لأن $ln 1 = 0$ )، ثم $N (e - 1) = 8$ ملاحظا أن $ln ((e - 1) + 1) = ln e = 1$ .

بالنسبة للسؤال 2، قارن نمو $ln (t + 1)$ بنمو $t$ عندما $t \to + \infty$ : أيهما يهيمن على الآخر؟

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points