التمرين 4 — المتتالية واللوغاريتم نعتبر المتتالية ( u n ) المعرفة بـ u 0 = 3 و، من أجل كل عدد صحيح طبيعي n ∈ N : u n + 1 = 2 1 ( u n + u n 1 ) نضع v n = ln ( u n ) من أجل كل n ∈ N . بين أن u n > 0 من أجل كل n ∈ N (يمكن الاستدلال بالترجع). بين أن u n ≥ 1 من أجل كل n ≥ 1 باستعمال متراجحة المتوسطين الحسابي والهندسي: من أجل كل عددين حقيقيين a , b > 0 ، 2 a + b ≥ ab . عبر عن v n + 1 بدلالة v n وبين أن المتتالية ( v n ) متناقصة من أجل n ≥ 1 . بين أن ( v n ) محدودة من الأسفل بـ 0 من أجل n ≥ 1 . استنتج أن ( v n ) متقاربة. ما هي نهاية ( u n ) ؟

متتالية ترجعية ولوغاريتم – تقارب

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 4 — المتتالية واللوغاريتم

نعتبر المتتالية $(u_{n})$ المعرفة بـ $u_{0} = 3$ و، من أجل كل عدد صحيح طبيعي $n \in N$ :

$u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{1}{u _{n}})$

نضع $v_{n} = ln (u_{n})$ من أجل كل $n \in N$ .

بين أن $u_{n} > 0$ من أجل كل $n \in N$ (يمكن الاستدلال بالترجع).
بين أن $u_{n} \geq 1$ من أجل كل $n \geq 1$ باستعمال متراجحة المتوسطين الحسابي والهندسي: من أجل كل عددين حقيقيين $a, b > 0$ ، $\frac{a + b}{2} \geq ab$ .
عبر عن $v_{n + 1}$ بدلالة $v_{n}$ وبين أن المتتالية $(v_{n})$ متناقصة من أجل $n \geq 1$ .
بين أن $(v_{n})$ محدودة من الأسفل بـ $0$ من أجل $n \geq 1$ . استنتج أن $(v_{n})$ متقاربة. ما هي نهاية $(u_{n})$ ؟

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points