Étude complète d'une fonction mêlant ln et polynôme

Exercice 2 — Étude complète d'une fonction

On définit la fonction g sur $]0,+\infty [$ par :

$g(x)=\frac{2\ln (x)-1}{x}$

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1. Limites et asymptotes.

   1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$. Préciser le comportement de (C) en 0.
   2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$. La droite d'équation $y=0$ est-elle asymptote à (C) en $+\infty$ ? Préciser le signe de $g(x)$ pour $x$ suffisamment grand.

2. Dérivée et variations.

   1. Montrer que pour tout $x\in ]0,+\infty [$: $g^{\prime }(x)=\frac{3-2\ln (x)}{x^2}$.
   2. Étudier le signe de $g^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations complet de g. On exprimera le maximum de g sous forme exacte.

3. Équation et inéquation.

   1. Résoudre dans $]0,+\infty [$ l'équation $g(x)=0$.
   2. En utilisant le tableau de variations, résoudre dans $]0,+\infty [$ l'inéquation $g(x)\ge 0$.

4. Tangente.
   Déterminer l'équation de la tangente à (C) au point d'abscisse $x=1$.