Étude de f(x) = x - ln(x) - 1 : signe et positivité

Exercice 1 — Étude d'une fonction logarithmique

On considère la fonction f définie sur $]0;+\infty [$ par :

$f(x)=x-\ln (x)-1$

1. Calculer la limite de $f$ en $0^{+}$ et en $+\infty$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier son signe. En déduire le tableau de variations de $f$.
3. Montrer que $f(x)\ge 0$ pour tout $x>0$. Que peut-on en conclure sur la comparaison de $x$ et $\ln (x)+1$ ?
4. Résoudre l'équation $f(x)=0$.