Étude de f(x) = x - ln(x) - 1 : limites et comportement en 0

Exercice 1 — Étude d'une fonction logarithmique

On considère la fonction f définie sur $]0,+\infty [$ par :

$f(x)=x-\ln (x)-1$

1. Limites aux bornes du domaine.

   1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$. Préciser le comportement de la courbe de f au voisinage de 0.
   2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. Interpréter géométriquement.

2. Étude des variations.

   1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in ]0,+\infty [$.
   2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations complet de f.

3. Signe de f et inégalité.

   1. En déduire le signe de $f(x)$ pour tout $x\in ]0,+\infty [$.
   2. Conclure que pour tout $x>0$ : $\ln (x)\le x-1$.