Exercice 3 — Étude complète d'une fonction On définit la fonction g sur ] 0 ; + ∞ [ par : g ( x ) = x ⋅ ln ( x ) − x + 1 Calculer les limites de g en 0 + et en + ∞ . (On rappelle que x → 0 + lim x ⋅ ln ( x ) = 0 .) Calculer g ′ ( x ) . Étudier le signe de g ′ ( x ) et dresser le tableau de variations complet de g. Montrer que g ( x ) ≥ 0 pour tout x > 0 et en déduire l'inégalité suivante : ∀ x > 0 , ln ( x ) ≥ 1 − x 1 On pose h ( x ) = x − 1 l n ( x ) pour x > 0 et x  = 1 . Calculer x → 1 lim h ( x ) . (On utilisera le résultat de la question 3.) Montrer que h est strictement décroissante sur ] 0 ; 1 [ et sur ] 1 ; + ∞ [ .

Étude complète de g(x) = x·ln(x) − x + 1 — Niveau intermédiaire

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Exercice 3 — Étude complète d'une fonction

On définit la fonction g sur $] 0; + \infty [$ par :

$g (x) = x \cdot ln (x) - x + 1$

Calculer les limites de g en $0^{+}$ et en $+ \infty$ . (On rappelle que $x \to 0^{+} lim x \cdot ln (x) = 0$ .)
Calculer $g^{'} (x)$ . Étudier le signe de $g^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations complet de g.
Montrer que $g (x) \geq 0$ pour tout $x > 0$ et en déduire l'inégalité suivante :
$\forall x > 0, ln (x) \geq 1 - \frac{1}{x}$
On pose $h (x) = \frac{l n ( x )}{x - 1}$ pour $x > 0$ et $x \neq = 1$ .
1. Calculer $x \to 1 lim h (x)$ . (On utilisera le résultat de la question 3.)
2. Montrer que h est strictement décroissante sur $] 0; 1 [$ et sur $] 1; + \infty [$ .

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