Situation-problème : Croissance démographique à Marrakech — Niveau intermédiaire

Exercice 4 — Situation-problème : Croissance démographique

La population d'une ville de la région de Marrakech-Safi est modélisée, en milliers d'habitants, par la fonction :

P(t) = 120 + 80$\cdot$ln(t + 1)

où t désigne le nombre d'années écoulées depuis l'année 2000 (t $\ge$ 0).

1. Quelle était la population de cette ville en l'an 2000 ? Et en 2010 ?

2. Calculer P'(t). Interpréter le résultat en termes de croissance démographique.

3. À quelle date la population dépassera-t-elle 400 000 habitants ? (Donner la réponse en année entière. On rappelle que ln(2) ≈ 0,693 et ln(3) ≈ 1,099.)

4. On note Q(t) le taux de croissance annuel moyen défini par :

   Q(t) = [P(t + 1) − P(t)] / P(t) $\times$ 100 (en %)

   1. Exprimer Q(t) en fonction de t.
   2. Montrer que Q est une fonction décroissante de t pour t $\ge$ 0.
   3. Interpréter ce résultat dans le contexte du problème.