التمرين 5 — دراسة شاملة لدالة ومتراجحة نعتبر الدالة f المعرفة على ] 0 ; + ∞ [ بما يلي: f ( x ) = 2 1 x 2 − x ⋅ ln ( x ) احسب x → 0 + lim f ( x ) و x → + ∞ lim f ( x ) . (نذكر أن x → 0 + lim x ⋅ ln ( x ) = 0 و x → + ∞ lim x ln ( x ) = 0 .) احسب f ′ ( x ) و f ′′ ( x ) . ضع جدول التغيرات الكامل للدالة f. بين أن لكل x > 0 : ln ( x ) ≤ 2 x x 2 − 1 . نُعرف المتتالية ( u n ) بـ u 1 = 1 و u n + 1 = e ⋅ u n لكل عدد صحيح n ≥ 1 . بين بالترجع أن u n > 0 لكل n ≥ 1 . بين أن u n u n + 1 = u n e . استنتج أنه إذا كان u n < e فإن u n + 1 > u n (المتتالية تزايدية ما دامت أصغر من e). بين أن المتتالية ( u n ) مكبورة بالعدد e. (يمكن وضع v n = ln ( u n ) ودراسة ( v n ) .) استنتج أن ( u n ) متقاربة وحدد نهايتها.

دراسة شاملة للدالة f(x) = (1/2)x² − x·ln(x)

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 5 — دراسة شاملة لدالة ومتراجحة

نعتبر الدالة f المعرفة على $] 0; + \infty [$ بما يلي:

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x \cdot ln (x)$

احسب $x \to 0^{+} lim f (x)$ و $x \to + \infty lim f (x)$ . (نذكر أن $x \to 0^{+} lim x \cdot ln (x) = 0$ و $x \to + \infty lim \frac{ln ( x )}{x} = 0$ .)
احسب $f^{'} (x)$ و $f^{''} (x)$ . ضع جدول التغيرات الكامل للدالة f.
بين أن لكل $x > 0$ : $ln (x) \leq \frac{x ^{2} - 1}{2 x}$ .
نُعرف المتتالية $(u_{n})$ بـ $u_{1} = 1$ و $u_{n + 1} = e \cdot u_{n}$ لكل عدد صحيح $n \geq 1$ .
1. بين بالترجع أن $u_{n} > 0$ لكل $n \geq 1$ .
2. بين أن $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{e}{u _{n}}$ . استنتج أنه إذا كان $u_{n} < e$ فإن $u_{n + 1} > u_{n}$ (المتتالية تزايدية ما دامت أصغر من e).
3. بين أن المتتالية $(u_{n})$ مكبورة بالعدد e. (يمكن وضع $v_{n} = ln (u_{n})$ ودراسة $(v_{n})$ .)
4. استنتج أن $(u_{n})$ متقاربة وحدد نهايتها.

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

في النهايات، عامل بـ $x^2$ واستعمل $\\lim x\\ln x=0$ و $\\lim\\dfrac{\\ln x}{x}=0$.

2 الإرشاد 2

احسب $f'(x)=x-\\ln x-1$ ثم $f''(x)=\\dfrac{x-1}{x}$ لدراسة إشارة $f'$.

3 الإرشاد 3

للمتتالية، ضع $v_n=\\ln u_n$ : تحصل على متتالية حسابية هندسية.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

في النهايات، عامل بـ $x^{2}$ واستعمل $l im x l n x = 0$ و $l im df r a c l n x x = 0$ .

احسب $f^{'} (x) = x - l n x - 1$ ثم $f^{''} (x) = df r a c x - 1 x$ لدراسة إشارة $f^{'}$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points