Étude complète de f(x) = x − ln(x) sur ]0, +∞[

Difficile
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Énoncé

Soit f définie sur par .

  1. Calculer les limites de f en et en .
  2. Calculer , étudier son signe, et déterminer le minimum de f.
  3. Calculer et étudier la convexité de f.
  4. Dresser le tableau de variations complet.
  5. En déduire que pour tout , et que l'égalité a lieu en .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour la limite en $0^+$, rappelle-toi que $\\ln(x) \\to -\\infty$, donc $-\\ln(x) \\to +\\infty$. Pour $+\\infty$, factorise par $x$ et utilise la croissance comparée.
2 Indice 2
Dérive $f(x)=x-\\ln(x)$ terme à terme pour obtenir $f'(x)$, mets au même dénominateur et étudie le signe de $x-1$.
3 Indice 3
Pour la dérivée seconde, dérive $f'(x)$ à nouveau ; son signe donne la convexité. Enfin, utilise le fait que le minimum de f vaut une valeur simple pour établir l'inégalité demandée.

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La méthode — par où commencer

Pour la limite en , rappelle-toi que , donc . Pour , factorise par et utilise la croissance comparée.

Dérive terme à terme pour obtenir , mets au même dénominateur et étudie le signe de .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Étude complète de f(x) = (1/2)x² − x·ln(x) — Niveau difficile Tous les exercices du chapitre Problème BAC — f(x) = ln(x)/√x, étude et maximum