Exercice 5 — Étude complète d'une fonction et inégalité On considère la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = 2 1 x 2 − x ⋅ ln ( x ) Calculer x → 0 + lim f ( x ) et x → + ∞ lim f ( x ) . (On rappelle x → 0 + lim x ⋅ ln ( x ) = 0 et x → + ∞ lim x ln ( x ) = 0 .) Calculer f ′ ( x ) et f ′′ ( x ) . Dresser le tableau de variations complet de f. Montrer que pour tout x > 0 : ln ( x ) ≤ 2 x x 2 − 1 . On définit la suite ( u n ) par u 1 = 1 et u n + 1 = e ⋅ u n pour tout entier n ≥ 1 . Montrer par récurrence que u n > 0 pour tout n ≥ 1 . Montrer que u n u n + 1 = u n e . En déduire que si u n < e alors u n + 1 > u n (la suite est croissante tant qu'elle est inférieure à e). Montrer que la suite ( u n ) est majorée par e. (On pourra poser v n = ln ( u n ) et étudier ( v n ) .) Conclure que ( u n ) converge et déterminer sa limite.

Étude complète de f(x) = (1/2)x² − x·ln(x) — Niveau difficile

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Exercice 5 — Étude complète d'une fonction et inégalité

On considère la fonction f définie sur $] 0; + \infty [$ par :

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x \cdot ln (x)$

Calculer $x \to 0^{+} lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ . (On rappelle $x \to 0^{+} lim x \cdot ln (x) = 0$ et $x \to + \infty lim \frac{ln ( x )}{x} = 0$ .)
Calculer $f^{'} (x)$ et $f^{''} (x)$ . Dresser le tableau de variations complet de f.
Montrer que pour tout $x > 0$ : $ln (x) \leq \frac{x ^{2} - 1}{2 x}$ .
On définit la suite $(u_{n})$ par $u_{1} = 1$ et $u_{n + 1} = e \cdot u_{n}$ pour tout entier $n \geq 1$ .
1. Montrer par récurrence que $u_{n} > 0$ pour tout $n \geq 1$ .
2. Montrer que $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{e}{u _{n}}$ . En déduire que si $u_{n} < e$ alors $u_{n + 1} > u_{n}$ (la suite est croissante tant qu'elle est inférieure à e).
3. Montrer que la suite $(u_{n})$ est majorée par e. (On pourra poser $v_{n} = ln (u_{n})$ et étudier $(v_{n})$ .)
4. Conclure que $(u_{n})$ converge et déterminer sa limite.

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour les limites, factorise par $x^2$ et utilise $\\lim x\\ln x=0$ et $\\lim\\dfrac{\\ln x}{x}=0$.

2 Indice 2

Calcule $f'(x)=x-\\ln x-1$ puis $f''(x)=\\dfrac{x-1}{x}$ pour etudier le signe de $f'$.

3 Indice 3

Pour la suite, pose $v_n=\\ln u_n$ : tu obtiens une suite arithmetico-geometrique.

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour les limites, factorise par $x^{2}$ et utilise $l im x l n x = 0$ et $l im df r a c l n x x = 0$ .

Calcule $f^{'} (x) = x - l n x - 1$ puis $f^{''} (x) = df r a c x - 1 x$ pour etudier le signe de $f^{'}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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