Soit f définie sur ] 0 , + ∞ [ par f ( x ) = x ln ( x ) . Calculer les limites de f en 0 + et en + ∞ . Calculer f ′ ( x ) et déterminer le maximum de f . Dresser le tableau de variations de f . Calculer l'aire du domaine délimité par C f , l'axe des abscisses et les droites x = 1 et x = e 2 .

Problème BAC — f(x) = ln(x)/√x, étude et maximum

Difficile

Soit $f$ définie sur $] 0, + \infty [$ par $f (x) = \frac{ln ( x )}{x}$ .

Calculer les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $+ \infty$ .
Calculer $f^{'} (x)$ et déterminer le maximum de $f$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer l'aire du domaine délimité par $C_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites $x = 1$ et $x = e^{2}$ .

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1 Indice 1

Pour les limites, effectue un changement de variable $u=\sqrt{x}$ pour se ramener a une limite de croissance comparee connue.

2 Indice 2

Pour la derivee, utilise la formule du quotient ou ecris $f(x)=\ln(x)\cdot x^{-1/2}$ et derive un produit.

3 Indice 3

Pour l'aire, une integration par parties avec $u=\ln(x)$ et $v'=1/\sqrt{x}$ permet de trouver une primitive.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour les limites, effectue un changement de variable $u = x$ pour se ramener a une limite de croissance comparee connue.

Pour la derivee, utilise la formule du quotient ou ecris $f (x) = ln (x) \cdot x^{- 1/2}$ et derive un produit.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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