Inégalités intégrales et valeur moyenne

1. Montrer que : $1\le \underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x^2}dx\le e$

2. Soit $f(x)=x\cdot \cos (x)$. Calculer $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}f(x)dx$ par intégration par parties.

3. Calculer la valeur moyenne de $g(x)=x\cdot e^x$ sur $[0,1]$.

4. Montrer que $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\ln 2$.