Démonstration d'une propriété d'intégration

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Énoncé

Démontrez que l'intégrale d'une fonction continue est positive si la fonction est positive sur un intervalle donné.

Indices

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1 Indice 1
Pense à la définition de l'intégrale comme limite de sommes de Riemann : $\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x$. Que peux-tu dire du signe de chaque terme $f(x_i) \Delta x$ si $f(x_i) \geq 0$ ?
2 Indice 2
Si chaque terme $f(x_i) \Delta x$ de la somme de Riemann est positif ou nul (car $f(x_i) \geq 0$ et $\Delta x > 0$), que peux-tu dire sur le signe de la somme totale, puis de sa limite ?

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La méthode — par où commencer

Pense à la définition de l'intégrale comme limite de sommes de Riemann : . Que peux-tu dire du signe de chaque terme si ?

Si chaque terme de la somme de Riemann est positif ou nul (car et ), que peux-tu dire sur le signe de la somme totale, puis de sa limite ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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