Étude d'une suite définie par une intégrale (récurrence)

Exercice 4 — Suite définie par une intégrale

Pour tout entier naturel n, on définit la suite ($I_n$) par :

$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n\times e^{x}dx$

1. Calculer $I_0$ en justifiant le calcul.
2. En effectuant une intégration par parties, montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

$I_n=e-n\times I_{n-1}$ (relation de récurrence, valable pour $n\ge 1$).

3. Calculer $I_1$ et $I_2$ à l'aide de la relation de récurrence.
4. a) Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $I_n>0$.
   b) Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $I_n\le \frac{e}{n+1}$.
   Indication : on pourra majorer $e^x$ sur $[0;1]$.